MediuTrigonometrieClasa 11

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→01−cos⁡x21−cos⁡x\lim_{x\to 0} \dfrac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că la x→0x\to0 atât numărătorul cât și numitorul tind la 00, deci formă 0/00/0. Folosim identitatea 1−cos⁡t=2sin⁡2(t/2)1-\cos t=2\sin^2(t/2).
24 puncte
Scriem 1−cos⁡x2=2 ∣sin⁡(x2/2)∣\sqrt{1-\cos x^2}=\sqrt{2}\,|\sin(x^2/2)| și 1−cos⁡x=2sin⁡2(x/2)1-\cos x=2\sin^2(x/2). Pentru x→0x\to0 avem sin⁡(x2/2)∼x2/2\sin(x^2/2)\sim x^2/2 și sin⁡(x/2)∼x/2\sin(x/2)\sim x/2.
33 puncte
Calculăm limita folosind aceste aproximări: lim⁡x→01−cos⁡x21−cos⁡x=lim⁡x→02 ∣sin⁡(x2/2)∣2sin⁡2(x/2)=2\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{1-\cos x^2}}{1-\cos x}=\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt{2}\,|\sin(x^2/2)|}{2\sin^2(x/2)}=\sqrt{2}. Răspuns: 2\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.