MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
{x−y=13π23cos⁡2x−12cos⁡y=−4\begin{cases} x-y=\dfrac{13\pi}{2}\\ 3\cos^{2}x-12\cos y=-4 \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din prima ecuație avem y=x−13π2y=x-\dfrac{13\pi}{2}. Observăm periodicitatea funcţiei cosinus: cos⁡y=cos⁡(x−13π2)=cos⁡(x−π2)=sin⁡x\cos y=\cos\bigl(x-\dfrac{13\pi}{2}\bigr)=\cos\bigl(x-\dfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin x.\
25 puncte
Înlocuind în a doua ecuaţie obţinem 3cos⁡2x−12sin⁡x=−43\cos^{2}x-12\sin x=-4. Folosind cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^{2}x=1-\sin^{2}x se obţine ecuaţia pentru t=sin⁡xt=\sin x: 3(1−t2)−12t=−4⇒3t2+12t−7=0.3(1-t^{2})-12t=-4\Rightarrow 3t^{2}+12t-7=0. Rezolvăm: t=−12±144+846=−12±2576=−6±573.t=\dfrac{-12\pm\sqrt{144+84}}{6}=\dfrac{-12\pm2\sqrt{57}}{6}=\dfrac{-6\pm\sqrt{57}}{3}. Singura soluţie admisibilă în [−1,1][-1,1] este sin⁡x=−6+573.\sin x=\dfrac{-6+\sqrt{57}}{3}.\
32 puncte
Concluzie: x=arcsin⁡ ⁣(−6+573)+2kπorx=π−arcsin⁡ ⁣(−6+573)+2kπ,  k∈Z,x=\arcsin\!\left(\dfrac{-6+\sqrt{57}}{3}\right)+2k\pi\quad\text{or}\quad x=\pi-\arcsin\!\left(\dfrac{-6+\sqrt{57}}{3}\right)+2k\pi,\;k\in\mathbb{Z}, şi y=x−13π2.y=x-\dfrac{13\pi}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.