MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: tan⁡(4x)cos⁡(7x)=sin⁡(7∣x∣)\tan(4x)\cos(7x)=\sin(7|x|).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul de definiție: tan⁡(4x)\tan(4x) este definit pentru cos⁡(4x)≠0\cos(4x)\neq0, deci se cere 4x≠π2+kπ4x\neq\tfrac{\pi}{2}+k\pi. Se poate multiplica cu cos⁡(4x)\cos(4x) în aceste puncte.
25 puncte
Transformare: multiplicând cu cos⁡(4x)\cos(4x) se obține sin⁡(4x)cos⁡(7x)=sin⁡(7∣x∣)cos⁡(4x)\sin(4x)\cos(7x)=\sin(7|x|)\cos(4x), apoi se scrie diferența: sin⁡(4x)cos⁡(7∣x∣)−cos⁡(4x)sin⁡(7∣x∣)=0\sin(4x)\cos(7|x|)-\cos(4x)\sin(7|x|)=0, astfel sin⁡(4x−7∣x∣)=0\sin\bigl(4x-7|x|\bigr)=0. Se desprind cazurile pentru semnul lui xx şi se rezolvă: dacă x≥0x\ge0 atunci 4x−7x=−3x=kπ⇒x=−kπ34x-7x=-3x=k\pi\Rightarrow x=-\tfrac{k\pi}{3}; dacă x<0x<0 atunci 4x−7(−x)=11x=kπ⇒x=kπ114x-7(-x)=11x=k\pi\Rightarrow x=\tfrac{k\pi}{11}.
32 puncte
Scrierea soluţiilor valide şi verificarea domeniului: pentru x≥0x\ge0 rezultă x=mπ3x=\dfrac{m\pi}{3}, m∈N0m\in\mathbb{N}_0, pentru x<0x<0 rezultă x=−mπ11x=-\dfrac{m\pi}{11}, m∈Nm\in\mathbb{N}; se exclud valorile pentru care cos⁡(4x)=0\cos(4x)=0, adică x≠π8+nπ4x\neq\tfrac{\pi}{8}+\tfrac{n\pi}{4}. (Verificare punctuală şi prezentare finală a mulţimii soluţiilor.)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.