GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
2sin⁡3x−1sin⁡x=2cos⁡3x+1cos⁡x 2 \sin 3x - \dfrac{1}{\sin x} = 2 \cos 3x + \dfrac{1}{\cos x}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Precizaţi domeniul: \sin x \neq 0, \cos x \neq 0. Multiplicaţi ecuaţia cu \sin x \cos x şi aduceţi totul la aceeaşi parte: 2sin⁡xcos⁡x(sin⁡3x−cos⁡3x)−(sin⁡x+cos⁡x)=02\sin x\cos x(\sin 3x - \cos 3x) - (\sin x + \cos x)=0.
23 puncte
Notaţi t=sin⁡x+cos⁡xt = \sin x + \cos x şi observaţi că se ajunge la factorizarea t[2sin⁡xcos⁡x(3−4t2+12sin⁡xcos⁡x)−1]=0t\left[2\sin x\cos x(3 -4 t^2 +12\sin x\cos x) -1\right]=0. Prima soluţie: t=0t=0 conduce la x=−π4+kπx = -\tfrac{\pi}{4} + k\pi.
34 puncte
Înlocuiţi sin⁡xcos⁡x=(t2−1)/2\sin x\cos x = (t^2 -1)/2 şi rezolvaţi ecuaţia în tt: 2t4−5t2+2=02 t^4 -5 t^2 +2=0, adică t2=2t^2 =2 sau t2=12t^2=\tfrac{1}{2}. Din acestea se obţin familiile de soluţii: t2=2⇒x=π4+kπt^2=2 \Rightarrow x = \tfrac{\pi}{4} + k\pi; t2=12⇒sin⁡(x+π4)=±12t^2=\tfrac{1}{2} \Rightarrow \sin(x+\tfrac{\pi}{4}) = \pm \tfrac{1}{2}, deci exemple de forme generale: x=−π12+2kπ,;x=7π12+2kπ,;x=−5π12+2kπ,;x=11π12+2kπx = -\tfrac{\pi}{12} + 2k\pi, \\; x = \tfrac{7\pi}{12} + 2k\pi, \\; x = -\tfrac{5\pi}{12} + 2k\pi, \\; x = \tfrac{11\pi}{12} + 2k\pi. Verificaţi domeniul pentru fiecare ramură.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.