MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Arătați că sin⁡2(4α)2cos⁡α+cos⁡(3α)+cos⁡(5α)=2sin⁡αsin⁡(2α)\frac{\sin^{2}(4\alpha)}{2\cos\alpha + \cos(3\alpha) + \cos(5\alpha)} = 2\sin\alpha\sin(2\alpha).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosiți identitatea suma cosinusurilor: cos⁡(3α)+cos⁡(5α)=2cos⁡(4α)cos⁡α\cos(3\alpha)+\cos(5\alpha)=2\cos(4\alpha)\cos\alpha, deci numitorul devine 2cos⁡α+2cos⁡(4α)cos⁡α=2cos⁡α(1+cos⁡4α)2\cos\alpha+2\cos(4\alpha)\cos\alpha=2\cos\alpha(1+\cos4\alpha).
24 puncte
Folosiți 1+cos⁡4α=2cos⁡22α1+\cos4\alpha=2\cos^{2}2\alpha şi scrieți numărătorul ca sin⁡24α=(2sin⁡2αcos⁡2α)2=4sin⁡22αcos⁡22α\sin^{2}4\alpha=(2\sin2\alpha\cos2\alpha)^{2}=4\sin^{2}2\alpha\cos^{2}2\alpha, obţinând fracţia 4sin⁡22αcos⁡22α4cos⁡αcos⁡22α=sin⁡22αcos⁡α\dfrac{4\sin^{2}2\alpha\cos^{2}2\alpha}{4\cos\alpha\cos^{2}2\alpha}=\dfrac{\sin^{2}2\alpha}{\cos\alpha}.
33 puncte
Folosiţi sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha pentru a obţine sin⁡22αcos⁡α=(2sin⁡αcos⁡α)2cos⁡α=4sin⁡2αcos⁡α=2sin⁡αsin⁡2α\dfrac{\sin^{2}2\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{(2\sin\alpha\cos\alpha)^{2}}{\cos\alpha}=4\sin^{2}\alpha\cos\alpha=2\sin\alpha\sin2\alpha, concluzionând identitatea.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.