MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateTrigonometrie
Determinați pentru ce valori ale lui x derivata f'(x) este egală cu zero dacă f(x) = 20cos⁡(3x)+12cos⁡(5x)−15cos⁡(4x)20\cos(3x) + 12\cos(5x) - 15\cos(4x).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata f'(x). Observați că (cos⁡(α))′=−αsin⁡(α)(\cos(\alpha))' = -\alpha\sin(\alpha), deci f'(x) = −60sin⁡(3x)−60sin⁡(5x)+60sin⁡(4x)-60\sin(3x)-60\sin(5x)+60\sin(4x).
24 puncte
Împărțiți ecuația f'(x)=0 prin 60 și folosiți identitatea sin⁡A+sin⁡B=2sin⁡A+B2cos⁡A−B2\sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} pentru termenii sin⁡(3x)+sin⁡(5x)\sin(3x)+\sin(5x). Se obține −sin⁡(3x)−sin⁡(5x)+sin⁡(4x)=0  ⟺  sin⁡(4x)=2sin⁡(4x)cos⁡x  ⟺  sin⁡(4x)(1−2cos⁡x)=0-\sin(3x)-\sin(5x)+\sin(4x)=0\iff \sin(4x)=2\sin(4x)\cos x\iff \sin(4x)(1-2\cos x)=0.
33 puncte
Rezolvați fiecare factor: (i) sin⁡(4x)=0⇒4x=kπ⇒x=kπ4, k∈Z\sin(4x)=0\Rightarrow 4x=k\pi\Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{4},\ k\in\mathbb{Z}. (ii) 1−2cos⁡x=0⇒cos⁡x=12⇒x=±π3+2kπ, k∈Z1-2\cos x=0\Rightarrow \cos x=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}. Scrieți soluția ca reuniune a celor două familii de soluții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.