MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometriePolinoame
Rezolvați ecuația: 9cos⁡12x+cos⁡22x+1+2cos⁡2x=6cos⁡6xcos⁡2x+6cos⁡6x9\cos^{12}x+\cos^{2}2x+1+2\cos2x=6\cos^{6}x\cos2x+6\cos^{6}x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observă substituția t=cos⁡2xt=\cos^{2}x; atunci cos⁡2x=2t−1\cos2x=2t-1, cos⁡6x=t3\cos^{6}x=t^{3}, cos⁡12x=t6\cos^{12}x=t^{6}; se obține ecuația 9t6+4t2=12t49t^{6}+4t^{2}=12t^{4}.
24 puncte
Scrieți u=t2≥0u=t^{2}\ge0; ecuația devine 9u3−12u2+4u=0⇒u(9u2−12u+4)=09u^{3}-12u^{2}+4u=0\Rightarrow u(9u^{2}-12u+4)=0; rezolvați: u=0u=0 sau 9u2−12u+4=09u^{2}-12u+4=0 cu discriminant Δ=0\Delta=0, deci u=23u=\tfrac{2}{3}.
33 puncte
Reveniți la tt: t2=ut^{2}=u. Pentru u=0u=0 avem cos⁡4x=0⇒cos⁡x=0⇒x=π2+kπ\cos^{4}x=0\Rightarrow\cos x=0\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{2}+k\pi. Pentru u=23u=\tfrac{2}{3} avem cos⁡4x=23⇒cos⁡2x=23⇒cos⁡x=±(23)1/4\cos^{4}x=\tfrac{2}{3}\Rightarrow\cos^{2}x=\sqrt{\tfrac{2}{3}}\Rightarrow\cos x=\pm\left(\tfrac{2}{3}\right)^{1/4}, deci mulțimea soluțiilor este xx astfel încât cos⁡2x=23\cos^{2}x=\sqrt{\tfrac{2}{3}}, adică x=±arccos⁡ ⁣((23)1/4)+2kπx=\pm\arccos\!\big( (\tfrac{2}{3})^{1/4} \big)+2k\pi sau x=π±arccos⁡ ⁣((23)1/4)+2kπx=\pi\pm\arccos\!\big( (\tfrac{2}{3})^{1/4} \big)+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Suma punctelor: 10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.