MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Arătați că (sin⁡α+cos⁡αcos⁡α−sin⁡α)⋅tan⁡(π4+α)+1=csc⁡2(π4−α)\left(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}\right)\cdot\tan\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)+1=\csc^2\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notând t=tan⁡αt=\tan\alpha, arătaţi că sin⁡α+cos⁡αcos⁡α−sin⁡α=1+t1−t\dfrac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha-\sin\alpha}=\dfrac{1+t}{1-t} şi folosiţi formula pentru tangenta sumei pentru a obţine tan⁡(π4+α)=1+t1−t\tan\left(\dfrac{\pi}{4}+\alpha\right)=\dfrac{1+t}{1-t}.
24 puncte
Calculaţi produsul şi adăugaţi 1: obţineţi (1+t)2(1−t)2+1=2(1+t2)(1−t)2\dfrac{(1+t)^2}{(1-t)^2}+1=\dfrac{2(1+t^2)}{(1-t)^2}.
33 puncte
Arătaţi că sin⁡(π4−α)=1−t2(1+t2)\sin\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)=\dfrac{1-t}{\sqrt{2(1+t^2)}}, deci csc⁡2(π4−α)=2(1+t2)(1−t)2\csc^2\left(\dfrac{\pi}{4}-\alpha\right)=\dfrac{2(1+t^2)}{(1-t)^2}, egal cu expresia obţinută la pasul anterior.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.