MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația: cot⁡x−2sin⁡2x=1\cot x - 2\sin 2x = 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Domeniu: sin⁡x≠0\sin x\neq0 (cot este definit).
23 puncte
Introducem t=tan⁡xt=\tan x (\tan definit pentru cos;\neq0). Observăm că cot⁡x=1/t\cot x=1/t și sin⁡2x=2t/(1+t2)\sin 2x=2t/(1+t^{2}), obţinând 1t−4t1+t2=1\dfrac{1}{t}-\dfrac{4t}{1+t^{2}}=1.
34 puncte
Calculăm multiplicând cu t(1+t2)t(1+t^{2}) şi obţinem polinomul t3+3t2+t−1=0t^{3}+3t^{2}+t-1=0, care se factorizează ca (t+1)(t2+2t−1)=0(t+1)(t^{2}+2t-1)=0. Astfel t=tan⁡x∈{−1, −1+2, −1−2}t=\tan x\in\{-1,\,-1+\sqrt{2},\,-1-\sqrt{2}\}.
42 puncte
Concluzie: soluțiile sunt x=arctan⁡(−1)+kπ=−π4+kπx=\arctan(-1)+k\pi=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi și x=arctan⁡(−1±2)+kπx=\arctan(-1\pm\sqrt{2})+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}; se verifică că niciuna nu face sin⁡x=0\sin x=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.