MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Rezolvați ecuația: sin⁡3(x2)−cos⁡3(x2)2+sin⁡x=13cos⁡x\dfrac{\sin^3\left(\dfrac{x}{2}\right)-\cos^3\left(\dfrac{x}{2}\right)}{2+\sin x}=\dfrac{1}{3}\cos x.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Puneți a=x2a=\dfrac{x}{2}. Observați diferenţa de cuburi sin⁡3a−cos⁡3a=(sin⁡a−cos⁡a)(sin⁡2a+sin⁡acos⁡a+cos⁡2a)=(sin⁡a−cos⁡a)(1+sin⁡acos⁡a)\sin^3 a-\cos^3 a=(\sin a-\cos a)(\sin^2 a+\sin a\cos a+\cos^2 a)=(\sin a-\cos a)(1+\sin a\cos a). În plus 2+sin⁡x=2+2sin⁡acos⁡a=2(1+sin⁡acos⁡a)2+\sin x=2+2\sin a\cos a=2(1+\sin a\cos a), deci fracţia se simplifică la sin⁡a−cos⁡a2\dfrac{\sin a-\cos a}{2}.
23 puncte
Ecuaţia devine sin⁡a−cos⁡a2=13cos⁡2a\dfrac{\sin a-\cos a}{2}=\dfrac{1}{3}\cos 2a. Folosiţi cos⁡2a=cos⁡2a−sin⁡2a=−(sin⁡a−cos⁡a)(sin⁡a+cos⁡a)\cos 2a=\cos^2 a-\sin^2 a=-(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a) pentru a obţine (sin⁡a−cos⁡a)(12+13(sin⁡a+cos⁡a))=0(\sin a-\cos a)\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}(\sin a+\cos a)\right)=0.
35 puncte
Din primul factor sin⁡a−cos⁡a=0\sin a-\cos a=0 rezultă tan⁡a=1⇒a=π4+kπ\tan a=1\Rightarrow a=\tfrac{\pi}{4}+k\pi, adică x=π2+2kπx=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi. Din al doilea factor s-ar obţine sin⁡a+cos⁡a=−32\sin a+\cos a=-\tfrac{3}{2}, imposibil deoarece ∣sin⁡a+cos⁡a∣≤2<32|\sin a+\cos a|\le\sqrt{2}<\tfrac{3}{2}. Verificaţi că nu a apărut vreo nulare a divisorului (\ 1+sin⁡acos⁡a≠01+\sin a\cos a\neq0 deoarece ar conduce la imposibilitate), deci soluţiile sunt x=π2+2kπx=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.