MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dintr‑un vas umplut până la brimă cu glicerină pură s‑au scos 2 l și s‑au adăugat 2 l de apă. După omogenizare s‑au scos 2 l din amestec și s‑au adăugat din nou 2 l de apă. În final, după omogenizare, s‑au scos încă 2 l din amestec și s‑au adăugat 2 l de apă. Ca urmare a acestor operații, volumul de apă din vas a devenit cu 3 l mai mare decât volumul de glicerină rămas în el. Câți litri de glicerină și câți litri de apă erau în vas după operațiile efectuate?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm cu VV volumul inițial. După fiecare operație de scoatere a 2 l și completare cu 2 l apă, fracția de glicerină rămâne înmulțită cu factorul 1−2V1-\dfrac{2}{V}. După trei astfel de cicluri, volumul de glicerină rămas este G=V(1−2V)3=(V−2)3V2G=V\left(1-\dfrac{2}{V}\right)^3=\dfrac{(V-2)^3}{V^2}.
24 puncte
Volumul de apă rezultat este W=V−GW=V-G. Condiția dată este W=G+3W=G+3, deci V=2G+3V=2G+3. Înlocuind GG obținem ecuația cubică V3−9V2+24V−16=0V^3-9V^2+24V-16=0.
33 puncte
Descompunem: (V−4)2(V−1)=0(V-4)^2(V-1)=0. Singura soluție fizică (pentru care se pot scoate 2 l) este V=4V=4 l. Atunci G=4(12)3=12G=4\left(\tfrac{1}{2}\right)^3=\tfrac{1}{2} l și W=4−12=72=3,5W=4-\tfrac{1}{2}=\tfrac{7}{2}=3{,}5 l. Răspuns: glicerină 0,50{,}5 l, apă 3,53{,}5 l.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.