MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitate
Găsiți valorile extreme ale funcției f(x)=2x+2−xln⁡2f(x) = \frac{2^x + 2^{-x}}{\ln 2} pe intervalul [−1,2][-1, 2].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata funcției. f′(x)=ddx(2x+2−xln⁡2)=2x−2−xf'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{2^x+2^{-x}}{\ln2}\right)=2^x-2^{-x}.
22 puncte
Determinați punctele critice rezolvând f′(x)=0⇒2x=2−x⇒22x=1⇒x=0f'(x)=0\Rightarrow 2^x=2^{-x}\Rightarrow 2^{2x}=1\Rightarrow x=0.
32 puncte
Determinați natura extremului calculând a doua derivată: f′′(x)=ln⁡2 (2x+2−x)>0f''(x)=\ln2\,(2^x+2^{-x})>0 pentru orice xx, deci la x=0x=0 avem un minim.
43 puncte
Evaluați valorile la punctele critice și la capetele intervalului: f(−1)=2−1+21ln⁡2=5/2ln⁡2f(-1)=\frac{2^{-1}+2^1}{\ln2}=\frac{5/2}{\ln2}, f(0)=2ln⁡2f(0)=\frac{2}{\ln2}, f(2)=22+2−2ln⁡2=17/4ln⁡2f(2)=\frac{2^2+2^{-2}}{\ln2}=\frac{17/4}{\ln2}. Concluzie: minimul absolut este f(0)=2ln⁡2f(0)=\dfrac{2}{\ln2}, iar maximalul absolut este f(2)=17/4ln⁡2f(2)=\dfrac{17/4}{\ln2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.