MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: 1cos⁡x+1cos⁡(x−3π2)=4cos⁡(7π4−x)\dfrac{1}{\cos x}+\dfrac{1}{\cos\bigl(x-\tfrac{3\pi}{2}\bigr)}=4\cos\bigl(\tfrac{7\pi}{4}-x\bigr).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Simplificaţi termenii: observaţi că cos⁡(x−3π2)=cos⁡(x+π2)=−sin⁡x\cos\bigl(x-\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=\cos(x+\tfrac{\pi}{2})=-\sin x, deci ecuaţia devine sec⁡x−csc⁡x=4cos⁡(7π4−x)\sec x-\csc x=4\cos\bigl(\tfrac{7\pi}{4}-x\bigr). Calculaţi cos⁡(7π4−x)=12(cos⁡x−sin⁡x)\cos\bigl(\tfrac{7\pi}{4}-x\bigr)=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(\cos x-\sin x), obţinând sin⁡x−cos⁡xsin⁡xcos⁡x=−22(sin⁡x−cos⁡x)\dfrac{\sin x-\cos x}{\sin x\cos x}= -2\sqrt{2}(\sin x-\cos x).
24 puncte
Factorizaţi: (sin⁡x−cos⁡x)(1+22sin⁡xcos⁡x)=0(\sin x-\cos x)\bigl(1+2\sqrt{2}\sin x\cos x\bigr)=0. Rezolvaţi fiecare factor: sin⁡x=cos⁡x⇒x=π4+kπ\sin x=\cos x\Rightarrow x=\tfrac{\pi}{4}+k\pi, iar 1+22sin⁡xcos⁡x=0⇒1+2sin⁡2x=0⇒sin⁡2x=−121+2\sqrt{2}\sin x\cos x=0\Rightarrow 1+\sqrt{2}\sin2x=0\Rightarrow \sin2x=-\tfrac{1}{\sqrt{2}}.
33 puncte
Scrieţi soluţiile finale şi verificaţi condiţiile de existenţă (cos x\neq0, sin x\neq0): x=π4+kπx=\tfrac{\pi}{4}+k\pi, respectiv din a doua ecuaţie 2x=−π4+2kπ2x=-\tfrac{\pi}{4}+2k\pi sau 2x=5π4+2kπ2x=\tfrac{5\pi}{4}+2k\pi, deci x=−π8+kπx=-\tfrac{\pi}{8}+k\pi sau x=5π8+kπx=\tfrac{5\pi}{8}+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}; se exclud valorile cu sin sau cos nule deoarece expresia iniţială ar fi nedefinită.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.