MediuProgresii GeometriceClasa 9

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii Geometrice
Un calculator a rezolvat mai multe probleme în succesiune. Timpul necesar pentru a rezolva fiecare problemă succesivă era cu un factor constant mai mic decât timpul pentru problema precedentă. Câte probleme i s-au propus calculatorului dacă a cheltuit 63.563.5 minute pentru a rezolva toate problemele cu excepția primei, 127127 minute pentru a rezolva toate problemele cu excepția ultimei și 31.531.5 minute pentru a rezolva toate problemele cu excepția primelor două?

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm cu aa primul termen (timpul pentru prima problemă) și cu rr rația progresiei geometrice, 0<r<10<r<1. Suma tuturor timpilor este S=a(1−rn)1−rS=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}. Din condiții obținem sistemul: S−a=63.5S-a=63.5, S−arn−1=127S-a r^{n-1}=127, S−a−ar=31.5S-a-a r=31.5. (Explicarea relațiilor)
23 puncte
Scădem prima egalitate din a treia pentru a obține ar=32a r=32, deci al doilea termen este 3232. Din prima egalitate S=a+63.5S=a+63.5. Din a doua egalitate rezultă a−arn−1=63.5a-a r^{n-1}=63.5, adică a(1−rn−1)=63.5a(1-r^{n-1})=63.5.
34 puncte
Înlocuind a=32/ra=32/r în a(1−rn−1)=63.5a(1-r^{n-1})=63.5 se obține 32(1−rn−1)=63.5r32(1-r^{n-1})=63.5 r. Observăm că pentru r=12r=\dfrac12 avem a=64a=64 şi ecuaţia devine 64(1−(12)n−1)=63.564(1-(\tfrac12)^{n-1})=63.5, adică (12)n−1=1128(\tfrac12)^{n-1}=\tfrac{1}{128}. Rezultă n−1=7n-1=7, deci n=8n=8. (Verificare: toate condițiile sunt îndeplinite.)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.