GreuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

GreuTrigonometrieSisteme de Ecuații Neliniare
{sin⁡2x+cos⁡2y=1116sin⁡x+y2cos⁡x−y2=58\begin{cases} \sin^{2}x+\cos^{2}y=\dfrac{11}{16}\\ \dfrac{\sin\dfrac{x+y}{2}}{\cos\dfrac{x-y}{2}}=\dfrac{5}{8} \end{cases}

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm S=x+y2S=\dfrac{x+y}{2} şi D=x−y2D=\dfrac{x-y}{2}. Din prima ecuaţie, folosind identităţi trigonometrice, rezultă sin⁡2x+cos⁡2y=1+sin⁡2Ssin⁡2D=1116⇒sin⁡2Ssin⁡2D=−516.\sin^{2}x+\cos^{2}y=1+\sin2S\sin2D=\dfrac{11}{16}\Rightarrow\sin2S\sin2D=-\dfrac{5}{16}. Din a doua ecuaţie avem sin⁡S=58cos⁡D\sin S=\dfrac{5}{8}\cos D.\
25 puncte
Înlocuind relaţia dintre sin⁡S\sin S şi cos⁡D\cos D în ecuaţia pentru sin⁡2Ssin⁡2D\sin2S\sin2D şi rezolvând numeric (sau algebric prin ridicarea la pătrat şi eliminare) se obţine o soluţie principală pentru SS şi DD: S≈0.6669+2kπorS≈π−0.6669+2kπ,S\approx0.6669+2k\pi\quad\text{or}\quad S\approx\pi-0.6669+2k\pi, D≈−0.1636+2mπ(m,k∈Z).D\approx-0.1636+2m\pi\quad(m,k\in\mathbb{Z}).\
32 puncte
Revenind la variabilele iniţiale, soluţiile sunt date de x=S+D,y=S−Dx=S+D,\quad y=S-D cu valorile de mai sus şi periodicitatea obişnuită, adică mulţimea soluţiilor este: x≈0.5033+2(k+m)π,  y≈0.8305+2(k−m)πx\approx0.5033+2(k+m)\pi,\;y\approx0.8305+2(k-m)\pi şi varianta cu S↦π−SS\mapsto\pi-S corespunzătoare, pentru k,m∈Zk,m\in\mathbb{Z}. (Se acceptă prezentarea numerică a familiilor de soluţii şi justificarea corectă a paşilor.)

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.