MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieIdentități algebrice
Rezolvați ecuația: (4cos⁡x2−5−22)2+2(4cos⁡x2−5−22)−cos⁡x2=0(4\sqrt{\cos\tfrac{x}{2}}-5-\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2+\sqrt{2}(4\sqrt{\cos\tfrac{x}{2}}-5-\dfrac{\sqrt{2}}{2})-\dfrac{\cos x}{2}=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notați u=4cos⁡x2−5−22u=4\sqrt{\cos\tfrac{x}{2}}-5-\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Observați că u2+2 u=(u+22)2−12u^2+\sqrt{2}\,u=(u+\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2-\dfrac{1}{2} și folosiți identitatea 1+cos⁡x2=cos⁡2x2\dfrac{1+\cos x}{2}=\cos^2\tfrac{x}{2}.
24 puncte
Ecuația se transformă în (u+22)2=cos⁡2x2(u+\dfrac{\sqrt{2}}{2})^2=\cos^2\tfrac{x}{2}. Înlocuind uu rezultă (4cos⁡x2−5)2=cos⁡2x2(4\sqrt{\cos\tfrac{x}{2}}-5)^2=\cos^2\tfrac{x}{2}.
33 puncte
Punând t=cos⁡x2≥0t=\sqrt{\cos\tfrac{x}{2}}\ge 0 obţinem 4t−5=±t24t-5=\pm t^2. Din prima variantă nu există soluţii reale; din a doua rezultă t=1t=1. Deci cos⁡x2=1\cos\tfrac{x}{2}=1, adică x2=2kπ\tfrac{x}{2}=2k\pi, x=4kπx=4k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}. Verificați domeniul cos⁡x2≥0\cos\tfrac{x}{2}\ge 0 (indeplinit).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.