MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația (3−cot⁡2x)sin⁡2x=2(1+cos⁡2x)\left(3-\cot^2 x\right)\sin 2x=2\left(1+\cos 2x\right).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rescrieți expresiile folosind identități: cot⁡2x=cos⁡2xsin⁡2x\cot^2 x=\dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} şi 1+cos⁡2x=2cos⁡2x1+\cos 2x=2\cos^2 x. Observați şi folosiți cos⁡2x\cos 2x şi sin⁡2x\sin 2x pentru a simplifica.
23 puncte
După transformări se obține ecuația echivalentă 2(1−2cos⁡2x)sin⁡2x1−cos⁡2x=2(1+cos⁡2x)\dfrac{2(1-2\cos 2x)\sin 2x}{1-\cos 2x}=2(1+\cos 2x), care conduce la factorul comun şi la forma simplificată sin⁡2x(sin⁡2x−1+2cos⁡2x)=0\sin 2x\left(\sin 2x-1+2\cos 2x\right)=0.
34 puncte
Rezolvați cazurile:
  • sin⁡2x=0⇒2x=kπ⇒x=kπ2\sin 2x=0\Rightarrow 2x=k\pi\Rightarrow x=\dfrac{k\pi}{2}. Trebuie excluse valorile pentru care cot⁡x\cot x nu este definit (adică sin⁡x=0\sin x=0, adică x=kπx=k\pi), astfel rămân soluțiile corespunzătoare lui kk impar: x=π2+kπx=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.
  • sin⁡2x+2cos⁡2x=1\sin 2x+2\cos 2x=1. Scrieți aceasta ca 5sin⁡(2x+arctan⁡2)=1\sqrt{5}\sin\left(2x+\arctan 2\right)=1, deci 2x+arctan⁡2=(−1)narcsin⁡15+nπ2x+\arctan 2 = (-1)^n\arcsin\dfrac{1}{\sqrt{5}} + n\pi, n∈Zn\in\mathbb{Z}, de unde x=12((−1)narcsin⁡15+nπ−arctan⁡2)x=\dfrac{1}{2}\left((-1)^n\arcsin\dfrac{1}{\sqrt{5}}+n\pi-\arctan 2\right), n∈Zn\in\mathbb{Z}. Aceste soluții împreunite cu cele din primul caz formează mulțimea finală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.