MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Arătați că 2−sin⁡α−cos⁡αsin⁡α−cos⁡α=tan⁡(α2−π8)\dfrac{\sqrt{2}-\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=\tan\big(\tfrac{\alpha}{2}-\tfrac{\pi}{8}\big).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Puneţi t=tan⁡α2t=\tan\dfrac{\alpha}{2} şi exprimaţi sin⁡α\sin\alpha şi cos⁡α\cos\alpha în funcţie de tt: sin⁡α=2t1+t2\sin\alpha=\dfrac{2t}{1+t^2}, cos⁡α=1−t21+t2\cos\alpha=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}. \
25 puncte
Înlocuiţi în fracţia dată şi simplificaţi pentru a obţine raportul t−(2−1)1+t(2−1)\dfrac{t-(\sqrt{2}-1)}{1+t(\sqrt{2}-1)}, apoi folosiţi faptul că tan⁡π8=2−1\tan\dfrac{\pi}{8}=\sqrt{2}-1 şi formula tangentei diferenţei pentru a scrie rezultatul ca tan⁡(α2−π8)\tan\big(\dfrac{\alpha}{2}-\dfrac{\pi}{8}\big). \
32 puncte
Menţionaţi condiţiile de existenţă (de ex. sin⁡α−cos⁡α≠0\sin\alpha-\cos\alpha\neq0 şi definiţiile tangentei) şi concluzionaţi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.