MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrie
Arătați că cos⁡6α−sin⁡6α=(3+cos⁡22α)cos⁡2α4\cos^6\alpha-\sin^6\alpha=\dfrac{(3+\cos^2 2\alpha)\cos2\alpha}{4}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observaţi că cos⁡6α−sin⁡6α=(cos⁡2α−sin⁡2α)(cos⁡4α+cos⁡2αsin⁡2α+sin⁡4α)=cos⁡2α⋅S\cos^6\alpha-\sin^6\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^4\alpha+\cos^2\alpha\sin^2\alpha+\sin^4\alpha)=\cos2\alpha\cdot S, unde S=cos⁡4α+cos⁡2αsin⁡2α+sin⁡4αS=\cos^4\alpha+\cos^2\alpha\sin^2\alpha+\sin^4\alpha;
24 puncte
Calculaţi S=(cos⁡4α+sin⁡4α)+cos⁡2αsin⁡2α=1−2cos⁡2αsin⁡2α+cos⁡2αsin⁡2α=1−cos⁡2αsin⁡2αS=(\cos^4\alpha+\sin^4\alpha)+\cos^2\alpha\sin^2\alpha=1-2\cos^2\alpha\sin^2\alpha+\cos^2\alpha\sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha\sin^2\alpha şi observaţi că cos⁡2αsin⁡2α=sin⁡22α4=1−cos⁡22α4\cos^2\alpha\sin^2\alpha=\dfrac{\sin^2 2\alpha}{4}=\dfrac{1-\cos^2 2\alpha}{4};
33 puncte
Înlocuind obţineţi S=3+cos⁡22α4S=\dfrac{3+\cos^2 2\alpha}{4} şi deci cos⁡6α−sin⁡6α=(3+cos⁡22α)cos⁡2α4\cos^6\alpha-\sin^6\alpha=\dfrac{(3+\cos^2 2\alpha)\cos2\alpha}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.