MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația: log⁡a2(x a)log⁡2xa+log⁡ax⋅log⁡1/a(2x)=0\dfrac{\log_{a^2}(\sqrt{x}\,a)}{\log_{2x} a} + \log_a x \cdot \log_{1/a}(2x) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Puneţi u=log⁡axu=\log_a x şi c=log⁡a2c=\log_a 2. Calculaţi termenele: log⁡a2(xa)=ln⁡a+12ln⁡x2ln⁡a=12+14u\log_{a^2}(\sqrt{x}a)=\dfrac{\ln a+\tfrac12\ln x}{2\ln a}=\tfrac12+\tfrac14u, iar log⁡2xa=1/log⁡a(2x)=1/(c+u)\log_{2x}a=1/\log_a(2x)=1/(c+u). De asemenea log⁡1/a(2x)=−log⁡a(2x)=−(c+u)\log_{1/a}(2x)=-\log_a(2x)=-(c+u).
24 puncte
Înlocuiţi în ecuaţie şi factorizaţi: (12+14u)(c+u)−u(c+u)=0(\tfrac12+\tfrac14u)(c+u)-u(c+u)=0, deci (c+u)(12−34u)=0(c+u)\left(\tfrac12-\tfrac34u\right)=0.
33 puncte
Din factorare rezultă fie c+u=0⇒log⁡a(2x)=0⇒2x=1⇒x=12c+u=0\Rightarrow\log_a(2x)=0\Rightarrow2x=1\Rightarrow x=\tfrac12, fie 12−34u=0⇒u=23⇒x=a2/3\tfrac12-\tfrac34u=0\Rightarrow u=\tfrac23\Rightarrow x=a^{2/3}. Soluţia x=12x=\tfrac12 este exclusă deoarece ar face baza 2x2x egală cu 11 în log⁡2xa\log_{2x}a (nepermis). Rămâne soluţia x=a2/3x=a^{2/3}, cu condiţiile de definiţie: a>0a>0, a≠1a\neq1 şi 2a2/3≠12a^{2/3}\neq1 (pentru a evita baza 11 în log⁡2xa\log_{2x}a).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.