MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmice
log⁡2(4x+1+4)⋅log⁡2(4x+1)=log⁡1/218\log_2\bigl(4^{x+1}+4\bigr)\cdot\log_2\bigl(4^x+1\bigr)=\log_{1/\sqrt{2}}\sqrt{\tfrac{1}{8}}

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se calculează partea dreaptă: baza 1/2=2−1/21/\sqrt{2}=2^{-1/2} şi argumentul 18=(18)1/2=2−3/2\sqrt{\tfrac{1}{8}}=(\tfrac{1}{8})^{1/2}=2^{-3/2}. Folosind formula schimbării bazei: log⁡2−1/22−3/2=log⁡22−3/2log⁡22−1/2=−3/2−1/2=3\log_{2^{-1/2}}2^{-3/2}=\dfrac{\log_2 2^{-3/2}}{\log_2 2^{-1/2}}=\dfrac{-3/2}{-1/2}=3. Deci partea dreaptă este 3.
23 puncte
Se notează y=4xy=4^x. Atunci 4x+1=4y4^{x+1}=4y şi ecuaţia devine log⁡2(4y+4)⋅log⁡2(y+1)=3\log_2(4y+4)\cdot\log_2(y+1)=3.
33 puncte
Observăm că 4y+4=4(y+1)4y+4=4(y+1), deci log⁡2(4y+4)=log⁡24+log⁡2(y+1)=2+log⁡2(y+1)\log_2(4y+4)=\log_2 4 + \log_2(y+1)=2+\log_2(y+1). Introducem în ecuaţie: (2+log⁡2(y+1))⋅log⁡2(y+1)=3(2+\log_2(y+1))\cdot\log_2(y+1)=3. Se notează u=log⁡2(y+1)u=\log_2(y+1), obţinându-se ecuaţia cuadratică u2+2u−3=0u^2+2u-3=0.
42 puncte
Se rezolvă: (u+3)(u−1)=0(u+3)(u-1)=0, deci u=1u=1 sau u=−3u=-3. Din u=log⁡2(y+1)u=\log_2(y+1) rezultă y+1=2y+1=2 sau y+1=2−3=18y+1=2^{-3}=\tfrac{1}{8}. Soluţia y+1=18y+1=\tfrac{1}{8} este imposibilă (deoarece y=4x>0y=4^x>0), deci y=1y=1. Din 4x=14^x=1 rezultă x=0x=0. Soluţia finală: x=0x=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.