MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeDomeniul de definiție al funcțiilor
Pe mulțimea R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\} se definește legea de compoziție ∘\circ prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x + y}, pentru orice x,y∈R∖{0}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}. (a) Verifică dacă legea este bine definită, adică x∘y∈R∖{0}x \circ y \in \mathbb{R} \setminus \{0\} pentru orice x,y∈R∖{0}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}. (b) Studiază dacă legea este asociativă. (c) Rezolvă ecuația x∘2=3x \circ 2 = 3 în mulțimea R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pentru a verifica dacă legea este bine definită, trebuie să arătăm că x∘y≠0x \circ y \neq 0 pentru orice x,y∈R∖{0}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}. Dacă x∘y=xyx+y=0x \circ y = \frac{xy}{x+y} = 0, atunci xy=0xy = 0, ceea ce implică x=0x = 0 sau y=0y = 0, dar x,y≠0x, y \neq 0, deci x∘y≠0x \circ y \neq 0. Astfel, legea este bine definită.
24 puncte
Verificăm asociativitatea: (x∘y)∘z=xyx+y∘z=xyx+y⋅zxyx+y+z=xyz(x+y)z+xy=xyzxz+yz+xy(x \circ y) \circ z = \frac{xy}{x+y} \circ z = \frac{\frac{xy}{x+y} \cdot z}{\frac{xy}{x+y} + z} = \frac{xyz}{(x+y)z + xy} = \frac{xyz}{xz + yz + xy}. Pe de altă parte, x∘(y∘z)=x∘yzy+z=x⋅yzy+zx+yzy+z=xyzx(y+z)+yz=xyzxy+xz+yzx \circ (y \circ z) = x \circ \frac{yz}{y+z} = \frac{x \cdot \frac{yz}{y+z}}{x + \frac{yz}{y+z}} = \frac{xyz}{x(y+z) + yz} = \frac{xyz}{xy + xz + yz}. Deci (x∘y)∘z=x∘(y∘z)(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z), și legea este asociativă.
33 puncte
Rezolvăm ecuația x∘2=3x \circ 2 = 3. Avem x⋅2x+2=3\frac{x \cdot 2}{x + 2} = 3, adică 2x=3(x+2)2x = 3(x + 2), deci 2x=3x+62x = 3x + 6, de unde x=−6x = -6. Verificăm că −6∈R∖{0}-6 \in \mathbb{R} \setminus \{0\}, deci soluția este x=−6x = -6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.