MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definitePrimitiveȘiruri de numere reale
Pentru n∈Nn \in \mathbb{N}, se consideră In=∫01xnex dxI_n = \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx. Arătați că In=e−nIn−1I_n = e - n I_{n-1} pentru n≥1n \geq 1 și calculați I3I_3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se scrie In=∫01xnex dxI_n = \int_{0}^{1} x^n e^x \, dx. Se aplică integrarea prin părți cu u=xnu = x^n și dv=exdxdv = e^x dx, deci du=nxn−1dxdu = n x^{n-1} dx și v=exv = e^x.
24 puncte
Obținem In=[xnex]01−∫01ex⋅nxn−1 dx=e−0−n∫01xn−1ex dx=e−nIn−1I_n = \left[ x^n e^x \right]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^x \cdot n x^{n-1} \, dx = e - 0 - n \int_{0}^{1} x^{n-1} e^x \, dx = e - n I_{n-1}.
32 puncte
Pentru n=0n=0, I0=∫01ex dx=e−1I_0 = \int_{0}^{1} e^x \, dx = e - 1.
41 punct
Folosind relația, se calculează succesiv: I1=e−1⋅I0=e−(e−1)=1I_1 = e - 1 \cdot I_0 = e - (e-1) = 1, I2=e−2I1=e−2I_2 = e - 2 I_1 = e - 2, I3=e−3I2=e−3(e−2)=6−2eI_3 = e - 3 I_2 = e - 3(e-2) = 6 - 2e.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.