MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieIdentități algebrice
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația: sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x=0\sin x + \sin 2x + \sin 3x = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se aplică formula de transformare a sumei în produs pentru sin⁡x+sin⁡3x\sin x + \sin 3x: sin⁡x+sin⁡3x=2sin⁡x+3x2cos⁡x−3x2=2sin⁡2xcos⁡(−x)=2sin⁡2xcos⁡x\sin x + \sin 3x = 2 \sin \frac{x+3x}{2} \cos \frac{x-3x}{2} = 2 \sin 2x \cos (-x) = 2 \sin 2x \cos x, deoarece cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x) = \cos x.\n
23 puncte
Înlocuind în ecuația inițială, se obține 2sin⁡2xcos⁡x+sin⁡2x=02 \sin 2x \cos x + \sin 2x = 0. Factorizând pe sin⁡2x\sin 2x, avem sin⁡2x(2cos⁡x+1)=0\sin 2x (2 \cos x + 1) = 0.\n
34 puncte
Se rezolvă ecuațiile elementare: sin⁡2x=0\sin 2x = 0 și 2cos⁡x+1=02 \cos x + 1 = 0. Pentru sin⁡2x=0\sin 2x = 0, avem 2x=kπ2x = k\pi, unde k∈Zk \in \mathbb{Z}, deci x=kπ2,k∈Zx = \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}. Pentru 2cos⁡x+1=02 \cos x + 1 = 0, avem cos⁡x=−12\cos x = -\frac{1}{2}, cu soluțiile x=±2π3+2nπ,n∈Zx = \pm \frac{2\pi}{3} + 2n\pi, n \in \mathbb{Z}. Mulțimea soluțiilor este reuniunea acestor mulțimi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.