MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați numerele complexe zz care satisfac relația z3=z‾z^3 = \overline{z} și calculați ∣z∣|z|.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta) cu r=∣z∣≥0r = |z| \geq 0 și θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi). Atunci z3=r3(cos⁡3θ+isin⁡3θ)z^3 = r^3(\cos3\theta + i\sin3\theta) și z‾=r(cos⁡θ−isin⁡θ)=r[cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)]\overline{z} = r(\cos\theta - i\sin\theta) = r[\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)].
23 puncte
Ecuația z3=z‾z^3 = \overline{z} devine: r3(cos⁡3θ+isin⁡3θ)=r(cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ))r^3(\cos3\theta + i\sin3\theta) = r(\cos(-\theta) + i\sin(-\theta)). Comparând modulele: r3=r⇒r(r2−1)=0⇒r=0r^3 = r \Rightarrow r(r^2 - 1) = 0 \Rightarrow r = 0 sau r=1r = 1.
34 puncte
Comparând argumentele pentru r=1r = 1: cos⁡3θ+isin⁡3θ=cos⁡(−θ)+isin⁡(−θ)⇒3θ=−θ+2kπ,k∈Z⇒4θ=2kπ⇒θ=kπ2,k=0,1,2,3\cos3\theta + i\sin3\theta = \cos(-\theta) + i\sin(-\theta) \Rightarrow 3\theta = -\theta + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \Rightarrow 4\theta = 2k\pi \Rightarrow \theta = \frac{k\pi}{2}, k = 0,1,2,3. Soluțiile sunt: pentru r=0r = 0, z=0z = 0; pentru r=1r = 1, z∈{1,i,−1,−i}z \in \{1, i, -1, -i\}. Valoarea lui ∣z∣|z| este 00 sau 11.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.