MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție x∗y=x+y−xyx \ast y = x + y - xy. Să se demonstreze că (R∖{1},∗)(\mathbb{R} \setminus \{1\}, \ast) este grup abelian și să se determine inversul unui element x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică că legea este bine definită pe R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}; pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, x∗y=x+y−xy∈Rx \ast y = x + y - xy \in \mathbb{R} și se exclude cazul x∗y=1x \ast y = 1 prin analiză algebrică, confirmând închiderea.
23 puncte
Se arată asociativitatea calculând (x∗y)∗z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x \ast y) \ast z = (x+y-xy)+z-(x+y-xy)z = x+y+z -xy -xz -yz + xyz și x∗(y∗z)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−xy−xz−yz+xyzx \ast (y \ast z) = x+(y+z-yz)-x(y+z-yz) = x+y+z -xy -xz -yz + xyz, deci sunt egale.
32 puncte
Se determină elementul neutru ee rezolvând x∗e=xx \ast e = x, adică x+e−xe=x⇒e(1−x)=0⇒e=0x+e-xe=x \Rightarrow e(1-x)=0 \Rightarrow e=0 pentru x≠1x \neq 1, verificând că 0∗x=x0 \ast x = x.
42 puncte
Se determină inversul x′x' rezolvând x∗x′=0x \ast x' = 0, adică x+x′−xx′=0⇒x′(1−x)=−x⇒x′=xx−1x+x'-xx'=0 \Rightarrow x'(1-x) = -x \Rightarrow x' = \frac{x}{x-1}, valid pentru x≠1x \neq 1.
51 punct
Se verifică comutativitatea, x∗y=x+y−xy=y+x−yx=y∗xx \ast y = x+y-xy = y+x-yx = y \ast x.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.