MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteStudiul funcțiilorPrimitive
Se consideră funcția f:[0,π]→Rf: [0, \pi] \to \mathbb{R}, f(x)=sin⁡x⋅ecos⁡xf(x) = \sin x \cdot e^{\cos x}. a) Calculați I=∫0πf(x)dxI = \int_0^{\pi} f(x) dx. b) Demonstrați că funcția F:[0,π]→RF: [0, \pi] \to \mathbb{R}, definită prin F(x)=∫0xf(t)dtF(x) = \int_0^x f(t) dt, este crescătoare.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Observăm că derivata lui ecos⁡xe^{\cos x} este −sin⁡x⋅ecos⁡x-\sin x \cdot e^{\cos x}, deci f(x)=−(ecos⁡x)′f(x) = -(e^{\cos x})'. Așadar, o primitivă a lui ff este −ecos⁡x-e^{\cos x}.
23 puncte
Calculăm integrala: I=∫0πsin⁡x⋅ecos⁡xdx=[−ecos⁡x]0π=−ecos⁡π+ecos⁡0=−e−1+e1=e−1eI = \int_0^{\pi} \sin x \cdot e^{\cos x} dx = \left[ -e^{\cos x} \right]_0^{\pi} = -e^{\cos \pi} + e^{\cos 0} = -e^{-1} + e^{1} = e - \frac{1}{e}.
32 puncte
Pentru b), derivata lui FF este F′(x)=f(x)=sin⁡x⋅ecos⁡xF'(x) = f(x) = \sin x \cdot e^{\cos x}, conform teoremei fundamentale a calculului integral.
42 puncte
Pe intervalul [0,π][0, \pi], avem sin⁡x≥0\sin x \geq 0 și ecos⁡x>0e^{\cos x} > 0, deci F′(x)≥0F'(x) \geq 0. Egalitatea F′(x)=0F'(x)=0 are loc doar pentru x=0x=0 și x=πx=\pi, unde sin⁡x=0\sin x=0. Prin urmare, FF este crescătoare pe [0,π][0, \pi].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.