MediuEcuații logaritmiceClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații logaritmice

MediuEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații NeliniareLogaritmi
Rezolvați în mulțimea numerelor reale pozitive sistemul: {ln⁡(x)+ln⁡(y)=ln⁡(6)x2+y2=13\begin{cases} \ln(x) + \ln(y) = \ln(6) \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Din prima ecuație, folosind proprietățile logaritmilor: ln⁡(xy)=ln⁡(6)  ⟹  xy=6\ln(xy) = \ln(6) \implies xy = 6, deoarece funcția ln⁡\ln este injectivă.
23 puncte
Sistemul devine: {xy=6x2+y2=13\begin{cases} xy = 6 \\ x^2 + y^2 = 13 \end{cases}.
34 puncte
Notând s=x+ys = x + y, avem x2+y2=(x+y)2−2xy=s2−12=13  ⟹  s2=25  ⟹  s=5x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = s^2 - 12 = 13 \implies s^2 = 25 \implies s = 5 (deoarece x,y>0x,y > 0). Atunci xx și yy sunt rădăcinile ecuației t2−5t+6=0t^2 - 5t + 6 = 0, cu soluțiile t=2t=2 și t=3t=3. Soluțiile sistemului sunt (x,y)=(2,3)(x,y) = (2,3) sau (3,2)(3,2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații logaritmice

Mediu#1Ecuații logaritmiceEcuații iraționale
Rezolvați ecuația log⁡2x+log⁡2x3=2.\sqrt{\log_2 x} + \sqrt[3]{\log_2 x} = 2.
Mediu#2Ecuații logaritmiceLogaritmiEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 22log⁡4x−1−7log⁡4x=7log⁡4x−1−3⋅4log⁡4x2^{2\log_{4}x-1}-7^{\log_{4}x}=7^{\log_{4}x-1}-3\cdot4^{\log_{4}x}
Mediu#3Ecuații logaritmiceEcuații exponentiale
Rezolvați ecuația: 7log⁡x−5log⁡x+1=3⋅5log⁡x−1−13⋅7log⁡x−17^{\log x} - 5^{\log x + 1} = 3\cdot5^{\log x - 1} - 13\cdot7^{\log x - 1}.
Mediu#4Ecuații logaritmiceTrigonometrie
Rezolvați ecuația: 3log⁡(tan⁡x)−2⋅3log⁡(cot⁡x)+1=13^{\log(\tan x)} - 2\cdot 3^{\log(\cot x)} + 1 = 1
Vezi toate problemele de Ecuații logaritmice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații logaritmice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.