MediuProgresii GeometriceClasa 10

Problemă rezolvată de Progresii Geometrice

MediuProgresii GeometriceMatematică financiară
Profitul anual al unei firme formează o progresie geometrică cu rația 1.15. În primul an, profitul este de 20000 de lei. Firma dorește să obțină un profit total de cel puțin 300000 de lei în primii nn ani. Determinați cel mai mic nn natural pentru care această condiție este îndeplinită și calculați profitul total exact pentru acest nn.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem termenii progresiei geometrice: a1=20000a_1 = 20000, q=1.15q = 1.15, deci ak=20000⋅1.15k−1a_k = 20000 \cdot 1.15^{k-1} pentru k≥1k \geq 1.
23 puncte
Suma primilor nn termeni ai progresiei geometrice este Sn=a11−qn1−q=200001−1.15n1−1.15=200001.15n−10.15S_n = a_1 \frac{1 - q^n}{1 - q} = 20000 \frac{1 - 1.15^n}{1 - 1.15} = 20000 \frac{1.15^n - 1}{0.15}.
33 puncte
Impunem condiția Sn≥300000S_n \geq 300000. Deci 200001.15n−10.15≥30000020000 \frac{1.15^n - 1}{0.15} \geq 300000. Simplificăm: 1.15n−10.15≥15  ⟹  1.15n−1≥2.25  ⟹  1.15n≥3.25\frac{1.15^n - 1}{0.15} \geq 15 \implies 1.15^n - 1 \geq 2.25 \implies 1.15^n \geq 3.25. Aplicăm logaritmi: nlog⁡1.15≥log⁡3.25n \log 1.15 \geq \log 3.25, de unde n≥log⁡3.25log⁡1.15n \geq \frac{\log 3.25}{\log 1.15}. Calculăm valorile aproximative: log⁡3.25≈0.5119\log 3.25 \approx 0.5119 și log⁡1.15≈0.0607\log 1.15 \approx 0.0607, deci n≥0.51190.0607≈8.43n \geq \frac{0.5119}{0.0607} \approx 8.43.
42 puncte
Cel mai mic nn natural care satisface inegalitatea este n=9n = 9. Calculăm profitul total exact pentru n=9n=9: S9=200001.159−10.15S_9 = 20000 \frac{1.15^9 - 1}{0.15}. Putem calcula 1.159≈3.51791.15^9 \approx 3.5179, deci S9≈200003.5179−10.15=20000⋅16.786≈335720S_9 \approx 20000 \frac{3.5179 - 1}{0.15} = 20000 \cdot 16.786 \approx 335720 lei, sau păstrăm expresia exactă dacă se cere.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Progresii Geometrice

Mediu#1Progresii GeometriceMatematică financiară
Un împrumut de 50.000 lei este contractat la o dobândă anuală de 6%, compusă anual. Împrumutul trebuie rambursat în 5 ani prin plăți anuale egale. a) Calculați valoarea plății anuale. b) Întocmiți un tabel de amortizare care să indice pentru fiecare an: soldul inițial, dobânda, rambursarea principalului și soldul final.
Ușor#2Progresii GeometriceLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă o dobândă anuală de 5%, compusă anual. După câți ani suma va depăși 7000 de lei? (Se consideră log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212 și log⁡1.4≈0.1461\log 1.4 \approx 0.1461)
Mediu#3Progresii GeometriceLogaritmiMatematică aplicată
La deschiderea unui lac de agrement, numărul de vizitatori în prima zi a fost de 500. Se estimează că numărul de vizitatori crește cu 10% în fiecare zi față de ziua precedentă. Determinați după câte zile numărul total de vizitatori depășește 10000.
Mediu#4Progresii GeometriceNumere ComplexeȘiruri de numere reale
Fie z=(0,1)∈Cz = (0,1) \in \mathbb{C}. Exprimați ∑k=0nzk\sum_{k=0}^{n} z^k în funcție de întregul pozitiv nn.
Vezi toate problemele de Progresii Geometrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Progresii Geometrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.