MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ex≥1+x+x22e^x \geq 1 + x + \frac{x^2}{2}. Utilizați derivatele pentru a justifica această afirmație.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Definiți funcția auxiliară g(x)=ex−1−x−x22g(x) = e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2} pentru x>0x > 0 și calculați derivata întâi g′(x)=ex−1−xg'(x) = e^x - 1 - x și derivata a doua g′′(x)=ex−1g''(x) = e^x - 1.\n
23 puncte
Studiați semnul derivatei a doua g′′(x)g''(x): pentru x>0x > 0, g′′(x)>0g''(x) > 0, deci g′g' este strict crescătoare. Observați că g′(0)=0g'(0) = 0, deci pentru x>0x > 0, g′(x)>0g'(x) > 0.\n
32 puncte
Din g′(x)>0g'(x) > 0 pentru x>0x > 0, deduceți că gg este strict crescătoare pe (0,∞)(0, \infty).\n
42 puncte
Evaluați g(0)=0g(0) = 0 și folosiți monotonia: pentru x>0x > 0, g(x)≥g(0)=0g(x) \geq g(0) = 0, adică ex−1−x−x22≥0e^x - 1 - x - \frac{x^2}{2} \geq 0, deci ex≥1+x+x22e^x \geq 1 + x + \frac{x^2}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.