MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeGrupuri
Fie operația ∗* definită pe R\mathbb{R} prin x∗y=x+y1+xyx * y = \frac{x + y}{1 + xy}, pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R} cu xy≠−1xy \neq -1. Studiați dacă operația ∗* este asociativă, comutativă și dacă admite element neutru. Dacă există, determinați elementul simetric pentru un xx dat.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm comutativitatea: x∗y=x+y1+xy=y+x1+yx=y∗xx * y = \frac{x+y}{1+xy} = \frac{y+x}{1+yx} = y * x, deci operația este comutativă.
24 puncte
Verificăm asociativitatea: Calculăm (x∗y)∗z(x * y) * z și x∗(y∗z)x * (y * z). (x∗y)∗z=x+y1+xy+z1+x+y1+xy⋅z=x+y+z(1+xy)1+xy1+xy+(x+y)z1+xy=x+y+z+xyz1+xy+xz+yz(x * y) * z = \frac{\frac{x+y}{1+xy} + z}{1 + \frac{x+y}{1+xy} \cdot z} = \frac{\frac{x+y + z(1+xy)}{1+xy}}{\frac{1+xy + (x+y)z}{1+xy}} = \frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz}. Similar, x∗(y∗z)=x+y+z1+yz1+x⋅y+z1+yz=x(1+yz)+y+z1+yz1+yz+x(y+z)1+yz=x+y+z+xyz1+xy+xz+yzx * (y * z) = \frac{x + \frac{y+z}{1+yz}}{1 + x \cdot \frac{y+z}{1+yz}} = \frac{\frac{x(1+yz) + y+z}{1+yz}}{\frac{1+yz + x(y+z)}{1+yz}} = \frac{x+y+z+xyz}{1+xy+xz+yz}. Deci operația este asociativă.
32 puncte
Căutăm element neutru ee astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice xx. Avem x+e1+xe=x⇒x+e=x(1+xe)=x+x2e⇒e=x2e\frac{x+e}{1+xe} = x \Rightarrow x+e = x(1+xe) = x + x^2 e \Rightarrow e = x^2 e. Pentru ca aceasta să fie adevărată pentru orice xx, trebuie e=0e=0. Verificăm: x∗0=x+01+x⋅0=xx * 0 = \frac{x+0}{1+x\cdot0} = x, și 0∗x=x0 * x = x, deci e=0e=0 este element neutru.
42 puncte
Determinăm elementul simetric x′x' pentru xx, astfel încât x∗x′=0x * x' = 0. Avem x+x′1+xx′=0⇒x+x′=0⇒x′=−x\frac{x+x'}{1+xx'} = 0 \Rightarrow x+x' = 0 \Rightarrow x' = -x. Verificăm: x∗(−x)=x+(−x)1+x(−x)=01−x2=0x * (-x) = \frac{x+(-x)}{1+x(-x)} = \frac{0}{1-x^2} = 0 dacă x≠±1x \neq \pm 1. Dacă x=±1x = \pm 1, nu există element simetric, deci mulțimea nu este grup pentru toate xx.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.