MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeGeometrie Analitică
Determinați toate numerele complexe zz pentru care punctele de afixe zz, z2z^2, z3z^3 sunt vârfurile unui triunghi nedegenerat echilateral.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)z = r(\cos\theta + i\sin\theta) cu r≥0r \geq 0, θ∈[0,2π)\theta \in [0, 2\pi) și exprimăm condiția ca distanțele dintre afixe să fie egale.
23 puncte
Calculăm distanțele: ∣z2−z∣=r∣z−1∣|z^2 - z| = r|z-1|, ∣z3−z2∣=r2∣z−1∣|z^3 - z^2| = r^2|z-1|, ∣z−z3∣=r∣1−z2∣|z - z^3| = r|1-z^2|. Pentru triunghi echilateral, acestea sunt egale, deci r∣z−1∣=r2∣z−1∣r|z-1| = r^2|z-1| și r∣z−1∣=r∣1−z2∣r|z-1| = r|1-z^2|.
34 puncte
Din prima egalitate, obținem r=0r=0 sau ∣z−1∣=0|z-1|=0 sau r=1r=1. Cazurile r=0r=0 și ∣z−1∣=0|z-1|=0 conduc la z=0z=0 și z=1z=1, triunghiuri degenerate. Pentru r=1r=1, avem ∣z−1∣=∣1−z2∣|z-1| = |1-z^2|. Cu z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos\theta + i\sin\theta, calculăm ∣z−1∣=2∣sin⁡(θ/2)∣|z-1| = 2|\sin(\theta/2)| și ∣1−z2∣=2∣sin⁡θ∣=4∣sin⁡(θ/2)cos⁡(θ/2)∣|1-z^2| = 2|\sin\theta| = 4|\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)|. Egalitatea dă ∣sin⁡(θ/2)∣=2∣sin⁡(θ/2)cos⁡(θ/2)∣|\sin(\theta/2)| = 2|\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)|, deci sin⁡(θ/2)=0\sin(\theta/2)=0 sau ∣cos⁡(θ/2)∣=1/2|\cos(\theta/2)| = 1/2.
41 punct
sin⁡(θ/2)=0\sin(\theta/2)=0 dă θ=2kπ\theta = 2k\pi, deci z=1z=1 (degenerat). ∣cos⁡(θ/2)∣=1/2|\cos(\theta/2)| = 1/2 dă θ/2=±π/3+kπ\theta/2 = \pm\pi/3 + k\pi, deci θ=±2π/3+2kπ\theta = \pm2\pi/3 + 2k\pi. Soluțiile nedegenerate sunt z=cos⁡(2π/3)+isin⁡(2π/3)=−12+i32z = \cos(2\pi/3) + i\sin(2\pi/3) = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} și z=cos⁡(−2π/3)+isin⁡(−2π/3)=−12−i32z = \cos(-2\pi/3) + i\sin(-2\pi/3) = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.