MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Fie matricea B=(1212−11110)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}. a) Calculați determinantul lui BB și determinați B−1B^{-1}. b) Rezolvați sistemul liniar B⋅(xyz)=(10−1)B \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} folosind inversa matricei. c) Pentru ce valori reale ale parametrului mm sistemul B⋅(xyz)=(m12)B \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} are soluție unică? Justificați.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculul determinantului lui BB: det⁡(B)=1⋅((−1)⋅0−1⋅1)−2⋅(2⋅0−1⋅1)+1⋅(2⋅1−(−1)⋅1)=1⋅(0−1)−2⋅(0−1)+1⋅(2+1)=−1+2+3=4\det(B) = 1 \cdot ((-1)\cdot 0 - 1\cdot 1) - 2 \cdot (2\cdot 0 - 1\cdot 1) + 1 \cdot (2\cdot 1 - (-1)\cdot 1) = 1 \cdot (0 - 1) - 2 \cdot (0 - 1) + 1 \cdot (2 + 1) = -1 + 2 + 3 = 4. Deci det⁡(B)=4≠0\det(B)=4 \neq 0, așadar BB este inversabilă.
23 puncte
Calculul inversei lui BB: Se obține B−1=14(−1131−1131−5)B^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -5 \end{pmatrix} (se verifică prin înmulțire cu BB sau folosind metoda adjunctei).
32 puncte
Rezolvarea sistemului: (xyz)=B−1⋅(10−1)=14(−1131−1131−5)(10−1)=14(−1⋅1+1⋅0+3⋅(−1)1⋅1+(−1)⋅0+1⋅(−1)3⋅1+1⋅0+(−5)⋅(−1))=14(−408)=(−102)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = B^{-1} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 3 & 1 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -1\cdot 1 + 1\cdot 0 + 3\cdot (-1) \\ 1\cdot 1 + (-1)\cdot 0 + 1\cdot (-1) \\ 3\cdot 1 + 1\cdot 0 + (-5)\cdot (-1) \end{pmatrix} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}. Soluția: x=−1,y=0,z=2x=-1, y=0, z=2.
43 puncte
Discuția sistemului cu parametru: Sistemul B⋅X=(m12)B \cdot X = \begin{pmatrix} m \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} are soluție unică pentru orice m∈Rm \in \mathbb{R} deoarece det⁡(B)=4≠0\det(B) = 4 \neq 0 (matricea BB este inversabilă), deci sistemul este compatibil determinat indiferent de valorile termenilor liberi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.