MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea numerelor complexe C\mathbb{C} se definește legea de compoziție z∘w=z+w+i⋅z⋅wz \circ w = z + w + i \cdot z \cdot w, unde i2=−1i^2 = -1. a) Arătați că legea este comutativă. b) Pentru z0=1−iz_0 = 1 - i, determinați dacă este simetrizabil și, în caz afirmativ, găsiți simetricul său. c) Rezolvați ecuația z∘(2+i)=3−iz \circ (2 + i) = 3 - i.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Comutativitatea: z∘w=z+w+izwz \circ w = z + w + i z w și w∘z=w+z+iwzw \circ z = w + z + i w z. Deoarece adunarea și înmulțirea numerelor complexe sunt comutative, z+w=w+zz + w = w + z și zw=wzz w = w z, deci z∘w=w∘zz \circ w = w \circ z. Așadar, legea este comutativă.
24 puncte
Mai întâi, căutăm elementul neutru ee. Din z∘e=zz \circ e = z, avem z+e+ize=zz + e + i z e = z, deci e(1+iz)=0e(1 + i z) = 0 pentru orice zz. Pentru z=0z=0, obținem e=0e=0, iar verificând, 0∘0=00 \circ 0 = 0, deci e=0e=0 este element neutru. Pentru z0=1−iz_0 = 1 - i, căutăm z′z' astfel încât z0∘z′=0z_0 \circ z' = 0. Ecuația: (1−i)+z′+i(1−i)z′=0(1-i) + z' + i(1-i)z' = 0. Simplificăm: 1−i+z′(1+i(1−i))=01-i + z'(1 + i(1-i)) = 0. Calculăm i(1−i)=i−i2=i+1=1+ii(1-i) = i - i^2 = i + 1 = 1+i, deci 1+i(1−i)=1+(1+i)=2+i1 + i(1-i) = 1 + (1+i) = 2+i. Atunci 1−i+z′(2+i)=01-i + z'(2+i) = 0, deci z′(2+i)=−1+iz'(2+i) = -1+i. Rezolvăm: z′=−1+i2+i=(−1+i)(2−i)(2+i)(2−i)=−2+i+2i−i24+1=−2+3i+15=−1+3i5z' = \frac{-1+i}{2+i} = \frac{(-1+i)(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{-2 + i + 2i - i^2}{4+1} = \frac{-2 + 3i + 1}{5} = \frac{-1+3i}{5}. Simetricul este −1+3i5\frac{-1+3i}{5}.
33 puncte
Rezolvăm ecuația z∘(2+i)=3−iz \circ (2+i) = 3-i. Avem z+(2+i)+iz(2+i)=3−iz + (2+i) + i z (2+i) = 3-i. Simplificăm: z+2+i+(2i+i2)z=3−iz + 2+i + (2i + i^2)z = 3-i, adică z+2+i+(2i−1)z=3−iz + 2+i + (2i -1)z = 3-i. Combinăm termenii: z(1+2i−1)+2+i=3−iz(1 + 2i -1) + 2+i = 3-i, deci 2iz+2+i=3−i2i z + 2+i = 3-i. Atunci 2iz=3−i−2−i=1−2i2i z = 3-i -2 -i = 1 - 2i, și z=1−2i2i=(1−2i)(−i)2i(−i)=−i+2i22=−i−22=−1−i2z = \frac{1-2i}{2i} = \frac{(1-2i)(-i)}{2i(-i)} = \frac{-i + 2i^2}{2} = \frac{-i -2}{2} = -1 - \frac{i}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.