MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexePolinoameTrigonometrie
Demonstrați că dacă z1z_1 și z2z_2 sunt rădăcinile ecuației z2−2z+2=0z^2 - 2z + 2 = 0, atunci pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, z1n+z2nz_1^n + z_2^n este un număr real și determinați valoarea sa.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se rezolvă ecuația z2−2z+2=0z^2 - 2z + 2 = 0. Discriminantul este Δ=4−8=−4\Delta = 4 - 8 = -4, deci rădăcinile sunt z1=1+iz_1 = 1 + i și z2=1−iz_2 = 1 - i.\n
22 puncte
Se scriu z1z_1 și z2z_2 în formă trigonometrică: z1=2(cos⁡π4+isin⁡π4)z_1 = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}) și z2=2(cos⁡(−π4)+isin⁡(−π4))z_2 = \sqrt{2}(\cos (-\frac{\pi}{4}) + i \sin (-\frac{\pi}{4})).\n
33 puncte
Aplicând formula lui De Moivre, z1n=(2)n(cos⁡nπ4+isin⁡nπ4)z_1^n = (\sqrt{2})^n (\cos \frac{n\pi}{4} + i \sin \frac{n\pi}{4}) și z2n=(2)n(cos⁡nπ4−isin⁡nπ4)z_2^n = (\sqrt{2})^n (\cos \frac{n\pi}{4} - i \sin \frac{n\pi}{4}) (deoarece cosinusul este par și sinusul este impar).\n
42 puncte
Se adună: z1n+z2n=(2)n[2cos⁡nπ4]z_1^n + z_2^n = (\sqrt{2})^n [2 \cos \frac{n\pi}{4}], care este real.\n
51 punct
Valoarea este 2(2)ncos⁡nπ42(\sqrt{2})^n \cos \frac{n\pi}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.