MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere RealeGrupuri
Pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2, pentru orice x,y∈Mx, y \in M. a) Arătați că legea ∗* este asociativă. b) Determinați elementul neutru al legii ∗*. c) Pentru fiecare x∈Mx \in M, determinați simetricul său față de legea ∗*. d) Rezolvați în MM ecuația (x∗x)∗x=2(x * x) * x = 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm (x∗y)∗z=((xy−x−y+2)∗z)=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2=xyz−xz−yz+z−xy+x+y(x * y) * z = ((xy - x - y + 2) * z) = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xz - yz + 2z - xy + x + y - 2 - z + 2 = xyz - xz - yz + z - xy + x + y. Similar, x∗(y∗z)=x∗(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz+x−yz+y+zx * (y * z) = x * (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz + x - yz + y + z. Se observă că sunt egale, deci legea este asociativă.
22 puncte
Fie ee elementul neutru. Din x∗e=xx * e = x avem xe−x−e+2=x⇒xe−e=2x−2⇒e(x−1)=2(x−1)xe - x - e + 2 = x \Rightarrow xe - e = 2x - 2 \Rightarrow e(x-1) = 2(x-1). Deoarece x≠1x \neq 1, obținem e=2e = 2. Verificăm: x∗2=2x−x−2+2=xx * 2 = 2x - x - 2 + 2 = x, deci e=2e=2 este element neutru.
32 puncte
Pentru x∈Mx \in M, fie x′x' simetricul, astfel încât x∗x′=2x * x' = 2. Atunci xx′−x−x′+2=2⇒xx′−x−x′=0⇒x′(x−1)=x⇒x′=xx−1xx' - x - x' + 2 = 2 \Rightarrow xx' - x - x' = 0 \Rightarrow x'(x-1) = x \Rightarrow x' = \frac{x}{x-1}, deoarece x≠1x \neq 1. Verificăm că x′∈Mx' \in M, adică x′≠1x' \neq 1, ceea ce este adevărat pentru x≠2x \neq 2, iar pentru x=2x=2, x′=2x'=2, care există.
43 puncte
Ecuația (x∗x)∗x=2(x * x) * x = 2. Calculăm x∗x=x2−x−x+2=x2−2x+2x * x = x^2 - x - x + 2 = x^2 - 2x + 2. Atunci (x∗x)∗x=(x2−2x+2)∗x=(x2−2x+2)x−(x2−2x+2)−x+2=x3−2x2+2x−x2+2x−2−x+2=x3−3x2+3x(x * x) * x = (x^2 - 2x + 2) * x = (x^2 - 2x + 2)x - (x^2 - 2x + 2) - x + 2 = x^3 - 2x^2 + 2x - x^2 + 2x - 2 - x + 2 = x^3 - 3x^2 + 3x. Ecuația devine x3−3x2+3x=2⇒x3−3x2+3x−2=0x^3 - 3x^2 + 3x = 2 \Rightarrow x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = 0. Factorizăm: (x−2)(x2−x+1)=0(x-2)(x^2 - x + 1) = 0. Soluțiile sunt x=2x=2 și x=1±i32x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}, dar acestea din urmă nu sunt reale, deci în MM, singura soluție este x=2x=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.