MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciSisteme de Ecuații LiniareDeterminanți
Fie sistemul de ecuații liniare: {x+2y−z=32x+y+3z=5−x+3y+2z=4\begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x + y + 3z = 5 \\ -x + 3y + 2z = 4 \end{cases}. Scrieți sistemul sub formă matriceală AX=BAX = B, unde AA este matricea coeficienților, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, și B=(354)B = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}. Calculați det⁡(A)\det(A) și determinați dacă sistemul are soluție unică. Dacă da, găsiți soluția folosind metoda lui Cramer.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scrierea sistemului sub formă matriceală: A=(12−1213−132)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ -1 & 3 & 2 \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, B=(354)B = \begin{pmatrix} 3 \\ 5 \\ 4 \end{pmatrix}, deci AX=BAX = B.
23 puncte
Calculul determinantului lui AA: det⁡(A)=1⋅(1⋅2−3⋅3)−2⋅(2⋅2−3⋅(−1))+(−1)⋅(2⋅3−1⋅(−1))=1⋅(2−9)−2⋅(4+3)−1⋅(6+1)=−7−14−7=−28\det(A) = 1 \cdot (1 \cdot 2 - 3 \cdot 3) - 2 \cdot (2 \cdot 2 - 3 \cdot (-1)) + (-1) \cdot (2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1)) = 1 \cdot (2-9) - 2 \cdot (4+3) -1 \cdot (6+1) = -7 - 14 - 7 = -28.
33 puncte
Deoarece det⁡(A)=−28≠0\det(A) = -28 \neq 0, matricea AA este inversabilă, deci sistemul are soluție unică.
42 puncte
Aplicarea metodei lui Cramer: x=det⁡(Ax)det⁡(A)x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)}, unde AxA_x se obține înlocuind prima coloană a lui AA cu BB, analog pentru yy și zz. det⁡(Ax)=det⁡(32−1513432)=3⋅(1⋅2−3⋅3)−2⋅(5⋅2−3⋅4)+(−1)⋅(5⋅3−1⋅4)=3⋅(−7)−2⋅(−2)−1⋅11=−21+4−11=−28\det(A_x) = \det \begin{pmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 5 & 1 & 3 \\ 4 & 3 & 2 \end{pmatrix} = 3 \cdot (1 \cdot 2 - 3 \cdot 3) - 2 \cdot (5 \cdot 2 - 3 \cdot 4) + (-1) \cdot (5 \cdot 3 - 1 \cdot 4) = 3 \cdot (-7) - 2 \cdot (-2) -1 \cdot 11 = -21 + 4 - 11 = -28, deci x=−28−28=1x = \frac{-28}{-28} = 1. Similar, det⁡(Ay)=det⁡(13−1253−142)=1⋅(5⋅2−3⋅4)−3⋅(2⋅2−3⋅(−1))+(−1)⋅(2⋅4−5⋅(−1))=1⋅(−2)−3⋅7−1⋅13=−2−21−13=−36\det(A_y) = \det \begin{pmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 5 & 3 \\ -1 & 4 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot (5 \cdot 2 - 3 \cdot 4) - 3 \cdot (2 \cdot 2 - 3 \cdot (-1)) + (-1) \cdot (2 \cdot 4 - 5 \cdot (-1)) = 1 \cdot (-2) - 3 \cdot 7 -1 \cdot 13 = -2 - 21 - 13 = -36, y=−36−28=97y = \frac{-36}{-28} = \frac{9}{7}. det⁡(Az)=det⁡(123215−134)=1⋅(1⋅4−5⋅3)−2⋅(2⋅4−5⋅(−1))+3⋅(2⋅3−1⋅(−1))=1⋅(−11)−2⋅13+3⋅7=−11−26+21=−16\det(A_z) = \det \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 5 \\ -1 & 3 & 4 \end{pmatrix} = 1 \cdot (1 \cdot 4 - 5 \cdot 3) - 2 \cdot (2 \cdot 4 - 5 \cdot (-1)) + 3 \cdot (2 \cdot 3 - 1 \cdot (-1)) = 1 \cdot (-11) - 2 \cdot 13 + 3 \cdot 7 = -11 - 26 + 21 = -16, z=−16−28=47z = \frac{-16}{-28} = \frac{4}{7}. Soluția este x=1x=1, y=97y=\frac{9}{7}, z=47z=\frac{4}{7}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.