MediuLegi de compozițieClasa 12

Problemă rezolvată de Legi de compoziție

MediuLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie operația ∗* definită pe mulțimea R∖{0}\mathbb{R} \setminus \{0\} prin x∗y=xy+ax * y = xy + a, unde a∈Ra \in \mathbb{R} este un parametru. Studiați pentru ce valori ale lui aa operația este asociativă. Verificați dacă operația este comutativă. Determinați dacă există un element neutru și, în caz afirmativ, găsiți-l.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm comutativitatea: x∗y=xy+a=yx+a=y∗xx * y = xy + a = yx + a = y * x, deci operația este comutativă pentru orice aa.
24 puncte
Verificăm asociativitatea: (x∗y)∗z=(xy+a)∗z=(xy+a)z+a=xyz+az+a(x * y) * z = (xy + a) * z = (xy + a)z + a = xyz + az + a și x∗(y∗z)=x∗(yz+a)=x(yz+a)+a=xyz+ax+ax * (y * z) = x * (yz + a) = x(yz + a) + a = xyz + ax + a. Egalitatea (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z) implică xyz+az+a=xyz+ax+axyz + az + a = xyz + ax + a, de unde az=axaz = ax pentru orice x,zx,z, deci a=0a=0. Operația este asociativă doar pentru a=0a=0.
33 puncte
Căutăm elementul neutru ee: x∗e=xx * e = x dă xe+a=xxe + a = x, deci e=x−axe = \frac{x - a}{x} pentru x≠0x \neq 0. Pentru a=0a=0, e=1e=1 și verificăm x∗1=x⋅1+0=xx * 1 = x \cdot 1 + 0 = x. Pentru a≠0a \neq 0, nu există un element neutru unic.
41 punct
Concluzie: Operația este comutativă pentru orice aa, asociativă doar pentru a=0a=0, și are element neutru 11 doar pentru a=0a=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Legi de compoziție

Mediu#1Legi de compozițieGrupuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea R\mathbb{R} definită prin x∗y=xy+2x+3y+kx * y = xy + 2x + 3y + k, unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați kk astfel încât legea să fie asociativă. b) Pentru kk găsit, verificați dacă legea este comutativă și determinați elementul neutru. c) Rezolvați ecuația x∗x=1x * x = 1.
Mediu#2Legi de compozițieGrupuri
Considerăm legea de compoziție ⋄\diamond pe mulțimea Z\mathbb{Z} definită prin x⋄y=x+y−xyx \diamond y = x + y - xy. a) Demonstrați că legea este asociativă și comutativă. b) Determinați elementul neutru. c) Determinați elementele simetrizabile și simetricele lor. d) Rezolvați ecuația 2⋄x=32 \diamond x = 3.
Mediu#3Legi de compozițieGrupuri
Fie operația binară ∗* definită pe mulțimea R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\} prin x∗y=x+y1−xyx * y = \frac{x+y}{1-xy} pentru orice x,y∈R∖{1}x, y \in \mathbb{R} \setminus \{1\}. a) Arătați că operația ∗* este comutativă și asociativă. b) Determinați elementul neutru, dacă există. c) Pentru fiecare x∈R∖{1}x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}, determinați elementul simetric, dacă există.
Mediu#4Legi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Pe mulțimea Z\mathbb{Z} a numerelor întregi se definește legea de compoziție ∗* prin x∗y=x+y+3xyx * y = x + y + 3xy. a) Studiați dacă operația ∗* este asociativă. b) Rezolvați în Z\mathbb{Z} ecuația (2∗x)∗3=5(2 * x) * 3 = 5. c) Determinați toate elementele a∈Za \in \mathbb{Z} pentru care există b∈Zb \in \mathbb{Z} astfel încât a∗b=0a * b = 0.
Vezi toate problemele de Legi de compoziție →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Legi de compoziție cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.