MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeLogaritmi
Calculați aria suprafeței plane cuprinse între graficele funcțiilor f(x)=xf(x) = x și g(x)=ln⁡(x+1)g(x) = \ln(x+1) pe intervalul [0,1][0,1].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că pentru x∈[0,1]x \in [0,1], avem x≥ln⁡(x+1)x \geq \ln(x+1), cu egalitate doar în x=0x=0. Deci aria este dată de A=∫01(x−ln⁡(x+1))dxA = \int_0^1 (x - \ln(x+1)) dx.
24 puncte
Calculăm integrala: ∫xdx=x22\int x dx = \frac{x^2}{2}, iar ∫ln⁡(x+1)dx=(x+1)ln⁡(x+1)−x+C\int \ln(x+1) dx = (x+1)\ln(x+1) - x + C (obținută prin integrare prin părți).
33 puncte
Evaluați: A=[x22−(x+1)ln⁡(x+1)+x]01=12−2ln⁡(2)+1−(0−1⋅0+0)=32−2ln⁡(2)A = \left[ \frac{x^2}{2} - (x+1)\ln(x+1) + x \right]_0^1 = \frac{1}{2} - 2\ln(2) + 1 - (0 - 1\cdot0 + 0) = \frac{3}{2} - 2\ln(2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.