MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeGeometrie Analitică
Demonstrați că pentru orice numere complexe z1z_1 și z2z_2, are loc egalitatea ∣z1+z2∣2+∣z1−z2∣2=2(∣z1∣2+∣z2∣2)|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2(|z_1|^2 + |z_2|^2). Interpretați geometric această relație în planul complex.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se scriu z1=a+biz_1 = a+bi și z2=c+diz_2 = c+di, cu a,b,c,d∈Ra,b,c,d \in \mathbb{R}.
23 puncte
Se calculează ∣z1+z2∣2=(a+c)2+(b+d)2|z_1 + z_2|^2 = (a+c)^2 + (b+d)^2 și ∣z1−z2∣2=(a−c)2+(b−d)2|z_1 - z_2|^2 = (a-c)^2 + (b-d)^2.
32 puncte
Se adună cele două expresii, obținând 2(a2+b2+c2+d2)2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2).
42 puncte
Se observă că 2(∣z1∣2+∣z2∣2)=2(a2+b2+c2+d2)2(|z_1|^2 + |z_2|^2) = 2(a^2 + b^2 + c^2 + d^2), deci egalitatea este demonstrată. Interpretarea geometrică: În planul complex, punctele reprezentate de z1z_1 și z2z_2 formează un paralelogram cu vârfurile la origine, z1z_1, z2z_2, și z1+z2z_1+z_2; relația exprimă faptul că suma pătratelor diagonalelor este egală cu suma pătratelor laturilor.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.