MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciPolinoameDeterminanți
Se consideră matricea B=(12101−1203)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} și polinomul f(X)=X3−2X2+X−1f(X) = X^3 - 2X^2 + X - 1. Calculați f(B)f(B) și demonstrați că BB este inversabilă, apoi determinați B−1B^{-1} folosind metoda adjunctei.

Rezolvare completă

13 puncte · 5 pași
13 puncte
Calculează B2=B⋅B=(12101−1203)⋅(12101−1203)=(1⋅1+2⋅0+1⋅21⋅2+2⋅1+1⋅01⋅1+2⋅(−1)+1⋅30⋅1+1⋅0+(−1)⋅20⋅2+1⋅1+(−1)⋅00⋅1+1⋅(−1)+(−1)⋅32⋅1+0⋅0+3⋅22⋅2+0⋅1+3⋅02⋅1+0⋅(−1)+3⋅3)=(342−21−48411)B^2 = B \cdot B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1+2\cdot0+1\cdot2 & 1\cdot2+2\cdot1+1\cdot0 & 1\cdot1+2\cdot(-1)+1\cdot3 \\ 0\cdot1+1\cdot0+(-1)\cdot2 & 0\cdot2+1\cdot1+(-1)\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot(-1)+(-1)\cdot3 \\ 2\cdot1+0\cdot0+3\cdot2 & 2\cdot2+0\cdot1+3\cdot0 & 2\cdot1+0\cdot(-1)+3\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ -2 & 1 & -4 \\ 8 & 4 & 11 \end{pmatrix}.\n
23 puncte
Calculează B3=B2⋅B=(342−21−48411)⋅(12101−1203)=(3⋅1+4⋅0+2⋅23⋅2+4⋅1+2⋅03⋅1+4⋅(−1)+2⋅3(−2)⋅1+1⋅0+(−4)⋅2(−2)⋅2+1⋅1+(−4)⋅0(−2)⋅1+1⋅(−1)+(−4)⋅38⋅1+4⋅0+11⋅28⋅2+4⋅1+11⋅08⋅1+4⋅(−1)+11⋅3)=(7105−10−3−15302037)B^3 = B^2 \cdot B = \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ -2 & 1 & -4 \\ 8 & 4 & 11 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot1+4\cdot0+2\cdot2 & 3\cdot2+4\cdot1+2\cdot0 & 3\cdot1+4\cdot(-1)+2\cdot3 \\ (-2)\cdot1+1\cdot0+(-4)\cdot2 & (-2)\cdot2+1\cdot1+(-4)\cdot0 & (-2)\cdot1+1\cdot(-1)+(-4)\cdot3 \\ 8\cdot1+4\cdot0+11\cdot2 & 8\cdot2+4\cdot1+11\cdot0 & 8\cdot1+4\cdot(-1)+11\cdot3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 & 5 \\ -10 & -3 & -15 \\ 30 & 20 & 37 \end{pmatrix}.\n
32 puncte
Calculează f(B)=B3−2B2+B−I3=(7105−10−3−15302037)−2⋅(342−21−48411)+(12101−1203)−(100010001)=(7−6+1−110−8+2−05−4+1−0−10+4+0−0−3−2+1−1−15+8−1−030−16+2−020−8+0−037−22+3−1)=(142−6−5−8161217)f(B) = B^3 - 2B^2 + B - I_3 = \begin{pmatrix} 7 & 10 & 5 \\ -10 & -3 & -15 \\ 30 & 20 & 37 \end{pmatrix} - 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 4 & 2 \\ -2 & 1 & -4 \\ 8 & 4 & 11 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7-6+1-1 & 10-8+2-0 & 5-4+1-0 \\ -10+4+0-0 & -3-2+1-1 & -15+8-1-0 \\ 30-16+2-0 & 20-8+0-0 & 37-22+3-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \\ -6 & -5 & -8 \\ 16 & 12 & 17 \end{pmatrix}.\n
42 puncte
Arată că BB este inversabilă calculând det⁡(B)=1⋅(1⋅3−(−1)⋅0)−2⋅(0⋅3−(−1)⋅2)+1⋅(0⋅0−1⋅2)=1⋅3−2⋅2+1⋅(−2)=3−4−2=−3≠0\det(B) = 1 \cdot (1\cdot3 - (-1)\cdot0) - 2 \cdot (0\cdot3 - (-1)\cdot2) + 1 \cdot (0\cdot0 - 1\cdot2) = 1\cdot3 - 2\cdot2 + 1\cdot(-2) = 3 - 4 - 2 = -3 \neq 0.\n
53 puncte
Determină B−1B^{-1} cu metoda adjunctei: calculează matricea adjunctă adj(B)\text{adj}(B) transpusa matricei cofactorilor. Cofactorii: C11=+det⁡(1−103)=3C_{11} = +\det\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = 3, C12=−det⁡(0−123)=−2C_{12} = -\det\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = -2, C13=+det⁡(0120)=−2C_{13} = +\det\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = -2, C21=−det⁡(2103)=−6C_{21} = -\det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = -6, C22=+det⁡(1123)=1C_{22} = +\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} = 1, C23=−det⁡(1220)=4C_{23} = -\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix} = 4, C31=+det⁡(211−1)=−3C_{31} = +\det\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = -3, C32=−det⁡(110−1)=1C_{32} = -\det\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} = 1, C33=+det⁡(1201)=1C_{33} = +\det\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = 1. Atunci adj(B)=(3−6−3−211−241)\text{adj}(B) = \begin{pmatrix} 3 & -6 & -3 \\ -2 & 1 & 1 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix} și B−1=1det⁡(B)adj(B)=−13(3−6−3−211−241)=(−12123−13−1323−43−13)B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \text{adj}(B) = -\frac{1}{3} \begin{pmatrix} 3 & -6 & -3 \\ -2 & 1 & 1 \\ -2 & 4 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 1 \\ \frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ \frac{2}{3} & -\frac{4}{3} & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.