MediuMatriciClasa 11

Problemă rezolvată de Matrici

MediuMatriciDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie matricea A = (a111a111a)\begin{pmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{pmatrix}, unde a este un număr real. a) Calculați determinantul matricei A în funcție de a. b) Pentru ce valori ale lui a matricea A este inversabilă? c) Pentru a=2, rezolvați sistemul de ecuații AX = B, unde X = (xyz)\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} și B = (123)\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculăm determinantul lui A: det(A) = ∣a111a111a∣\begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} = a ∣a11a∣\begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} - 1 ∣111a∣\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} + 1 ∣1a11∣\begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = a(a^2 - 1) - 1(a - 1) + 1(1 - a) = a^3 - 3a + 2. Factorizăm: a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2(a+2).
22 puncte
Matricea A este inversabilă dacă și numai dacă det(A) ≠ 0. Din det(A) = (a-1)^2(a+2), avem det(A) = 0 pentru a=1 sau a=-2. Prin urmare, A este inversabilă pentru a ∈ ℝ \ {1, -2}.
35 puncte
Pentru a=2, matricea A devine A = (211121112)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}. Calculăm inversa lui A. det(A) pentru a=2 este (2-1)^2(2+2)=4. Matricea adjunctă și inversa: A^{-1} = 14(3−1−1−13−1−1−13)\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix}. Atunci X = A^{-1} B = 14(3−1−1−13−1−1−13)(123)\frac{1}{4} \begin{pmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -1 & 3 & -1 \\ -1 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = 14(−226)\frac{1}{4} \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 6 \end{pmatrix} = (−121232)\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2} \end{pmatrix}. Soluția sistemului este x = -1/2, y = 1/2, z = 3/2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matrici

Mediu#1MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={aI2+bJ∣a,b∈R}M = \{ aI_2 + bJ \mid a, b \in \mathbb{R} \} unde I2I_2 este matricea identitate de ordin 2 și J=(01−10)J = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}. Arătați că MM cu adunarea și înmulțirea matricelor formează un inel comutativ. Determinați dacă este un corp și, dacă nu, găsiți elementele inversabile.
Mediu#2MatriciInele și corpuri
Fie M={(ab0c)∣a,b,c∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \mid a, b, c \in \mathbb{R} \right\} mulțimea matricelor triunghiulare superioare de ordinul 2. Se definește operația de adunare ca adunarea obișnuită a matricelor și operația de înmulțire ca înmulțirea obișnuită a matricelor. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel. Dacă da, este el un corp? Justificați răspunsul.
Mediu#3MatriciInele și corpuri
Fie mulțimea M={(ab−ba)∣a,b∈R}M = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R} \right\}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un corp, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea matricelor. Apoi, rezolvați în acest corp ecuația X2=−IX^2 = -I, unde II este matricea identitate.
Mediu#4MatriciSisteme de Ecuații LiniareMatematică aplicată
Într-o uzină, se fabrică trei tipuri de piese: P1, P2 și P3. Timpii necesari (în minute) pentru fiecare piesă pe trei utilaje diferite sunt dați de matricea A=(5867496105)A = \begin{pmatrix} 5 & 8 & 6 \\ 7 & 4 & 9 \\ 6 & 10 & 5 \end{pmatrix}, unde rândul ii corespunde utilajului UiU_i și coloana jj piesei PjP_j. Dacă utilajele sunt disponibile timp de 120, 150 și 180 de minute respectiv, și se dorește utilizarea integrală a timpului, determinați câte piese de fiecare tip pot fi produse prin rezolvarea sistemului liniar folosind metoda matriceală. (Presupunem că numărul de piese este număr întreg pozitiv.)
Vezi toate problemele de Matrici →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matrici cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.