MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeProgresii Geometrice
Determinați numărul complex zz care satisface z3=1z^3 = 1 și are partea imaginară pozitivă. Apoi calculați suma S=1+z+z2+⋯+z10S = 1 + z + z^2 + \dots + z^{10}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rezolvarea ecuației z3=1z^3 = 1. Se obțin rădăcinile: z1=1z_1 = 1, z2=−12+i32z_2 = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}, z3=−12−i32z_3 = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}. Alegem z=−12+i32z = -\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} deoarece are partea imaginară pozitivă.
22 puncte
Observarea că suma SS este o sumă a unei progresii geometrice cu rația zz și primul termen 1, având 11 termeni (de la z0z^0 la z10z^{10}).
35 puncte
Aplicarea formulei sumei progresiei geometrice: S=1−z111−zS = \frac{1 - z^{11}}{1 - z}. Calculul z11z^{11} folosind forma trigonometrică: z=cos⁡2π3+isin⁡2π3z = \cos\frac{2\pi}{3} + i\sin\frac{2\pi}{3}, deci z11=cos⁡22π3+isin⁡22π3=cos⁡4π3+isin⁡4π3=−12−i32z^{11} = \cos\frac{22\pi}{3} + i\sin\frac{22\pi}{3} = \cos\frac{4\pi}{3} + i\sin\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}. Atunci S=1−(−12−i32)1−(−12+i32)=32+i3232−i32S = \frac{1 - (-\frac{1}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2})}{1 - (-\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{\frac{3}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{2} - i\frac{\sqrt{3}}{2}}. Simplificând, se obține S=0S = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.