MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateStudiul funcțiilorAplicații ale derivatelor
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x−1f(x) = \frac{x^2 + 2}{x-1}. a) Calculați derivata funcției ff. b) Determinați intervalele de monotonie ale funcției ff. c) Aflați punctele de extrem local ale funcției ff. d) Scrieți ecuația tangentei la graficul funcției ff în punctul de abscisă x=2x=2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculul derivatei: f′(x)=2x(x−1)−(x2+2)(x−1)2=x2−2x−2(x−1)2f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2+2)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x-1)^2}.
23 puncte
Studiul semnului derivatei: se rezolvă f′(x)=0f'(x)=0, adică x2−2x−2=0x^2 - 2x - 2 = 0, cu soluțiile x=1−3x=1-\sqrt{3} și x=1+3x=1+\sqrt{3}. Se analizează semnul pe intervalele determinate de punctele critice și asimptota verticală x=1x=1. Funcția este crescătoare pe (−∞,1−3](-\infty, 1-\sqrt{3}] și [1+3,∞)[1+\sqrt{3}, \infty), descrescătoare pe [1−3,1)[1-\sqrt{3}, 1) și (1,1+3](1, 1+\sqrt{3}].
32 puncte
Punctele de extrem: x=1−3x=1-\sqrt{3} este punct de maxim local, f(1−3)=6−23−3=−23+2f(1-\sqrt{3}) = \frac{6-2\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} = -2\sqrt{3}+2; x=1+3x=1+\sqrt{3} este punct de minim local, f(1+3)=6+233=23+2f(1+\sqrt{3}) = \frac{6+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}+2.
42 puncte
Ecuația tangentei: f(2)=6f(2)=6, f′(2)=−2f'(2)= -2, deci ecuația y−6=−2(x−2)y-6 = -2(x-2) sau y=−2x+10y = -2x +10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.