MediuTrigonometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrie
În triunghiul ABCABC se cunosc lungimile laturilor AB=6AB = 6, AC=8AC = 8 și măsura unghiului BAC^=60∘\widehat{BAC} = 60^{\circ}. Se cere: a) Să se calculeze lungimea laturii BCBC. b) Să se determine măsurile celorlalte unghiuri ale triunghiului. c) Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului. d) Să se afle aria triunghiului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
a) Aplicăm teorema cosinusului în triunghiul ABCABC: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡BAC^BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \widehat{BAC}. Înlocuim: BC2=62+82−2⋅6⋅8⋅cos⁡60∘=36+64−96⋅12=100−48=52BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60^{\circ} = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{1}{2} = 100 - 48 = 52. Deci BC=52=213BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.
23 puncte
b) Pentru unghiurile rămase, aplicăm teorema sinusurilor: BCsin⁡A=ACsin⁡B=ABsin⁡C=2R\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} = 2R. Avem sin⁡A=sin⁡60∘=32\sin A = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}. Atunci BCsin⁡A=21332=4133=4393\frac{BC}{\sin A} = \frac{2\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{39}}{3} (simplificat). Folosim ACsin⁡B=4393\frac{AC}{\sin B} = \frac{4\sqrt{39}}{3} → sin⁡B=AC4393=8⋅3439=639=63939=23913\sin B = \frac{AC}{\frac{4\sqrt{39}}{3}} = \frac{8 \cdot 3}{4\sqrt{39}} = \frac{6}{\sqrt{39}} = \frac{6\sqrt{39}}{39} = \frac{2\sqrt{39}}{13}. Similar, ABsin⁡C=4393\frac{AB}{\sin C} = \frac{4\sqrt{39}}{3} → sin⁡C=6⋅3439=18439=9239=93978=33926\sin C = \frac{6 \cdot 3}{4\sqrt{39}} = \frac{18}{4\sqrt{39}} = \frac{9}{2\sqrt{39}} = \frac{9\sqrt{39}}{78} = \frac{3\sqrt{39}}{26}. Pentru unghiurile propriu-zise, deoarece triunghiul nu este dreptunghic, putem folosi teorema cosinusului pentru a calcula cosinusurile: cos⁡B=AB2+BC2−AC22⋅AB⋅BC=36+52−642⋅6⋅213=242413=113=1313\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{36 + 52 - 64}{2 \cdot 6 \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{24}{24\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{13}. Atunci sin⁡B=1−cos⁡2B=1−13169=156169=23913\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \frac{13}{169}} = \sqrt{\frac{156}{169}} = \frac{2\sqrt{39}}{13}, ceea ce confirmă. Unghiul BB este ascuțit deoarece cos⁡B>0\cos B > 0, deci B=arccos⁡1313B = \arccos\frac{\sqrt{13}}{13}. Similar, cos⁡C=AC2+BC2−AB22⋅AC⋅BC=64+52−362⋅8⋅213=803213=5213=51326\cos C = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 \cdot AC \cdot BC} = \frac{64 + 52 - 36}{2 \cdot 8 \cdot 2\sqrt{13}} = \frac{80}{32\sqrt{13}} = \frac{5}{2\sqrt{13}} = \frac{5\sqrt{13}}{26}, și sin⁡C=1−25⋅13676=1−325676=351676=33926\sin C = \sqrt{1 - \frac{25\cdot13}{676}} = \sqrt{1 - \frac{325}{676}} = \sqrt{\frac{351}{676}} = \frac{3\sqrt{39}}{26}, deci CC este ascuțit și C=arccos⁡51326C = \arccos\frac{5\sqrt{13}}{26}.
32 puncte
c) Raza cercului circumscris RR se calculează din teorema sinusurilor: 2R=BCsin⁡A=21332=4133=43932R = \frac{BC}{\sin A} = \frac{2\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{39}}{3}. Deci R=2393R = \frac{2\sqrt{39}}{3}.
42 puncte
d) Aria triunghiului se poate calcula cu formula A=12⋅AB⋅AC⋅sin⁡A=12⋅6⋅8⋅32=123\mathcal{A} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.