MediuDerivateClasa 11

Problemă rezolvată de Derivate

MediuDerivateMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x)=ax3+bx2+cx+df(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a,b,c,d∈Ra, b, c, d \in \mathbb{R} și a≠0a \neq 0. Se știe că ff are un punct de inflexiune în x=1x=1 și că tangenta la graficul funcției în acest punct are ecuația y=2x+3y = 2x + 3. Determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d și studiați monotonia funcției.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi f′(x)=3ax2+2bx+cf'(x)=3ax^2+2bx+c și derivata a doua f′′(x)=6ax+2bf''(x)=6ax+2b.
23 puncte
Scrieți condițiile: f′′(1)=0⇒6a+2b=0f''(1)=0 \Rightarrow 6a+2b=0, iar pentru tangenta, f′(1)=2f'(1)=2 și f(1)=2⋅1+3=5f(1)=2\cdot1+3=5, deci 3a+2b+c=23a+2b+c=2 și a+b+c+d=5a+b+c+d=5.
32 puncte
Rezolvați sistemul: {6a+2b=03a+2b+c=2a+b+c+d=5\begin{cases} 6a+2b=0 \\ 3a+2b+c=2 \\ a+b+c+d=5 \end{cases} pentru a obține a=1a=1, b=−3b=-3, c=5c=5, d=2d=2.
42 puncte
Studiați semnul lui f′(x)=3x2−6x+5f'(x)=3x^2-6x+5; discriminantul este negativ, deci f′(x)>0f'(x)>0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}, așadar funcția este strict crescătoare pe R\mathbb{R}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Derivate

Greu#1Derivate
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(arctan⁡(1+esin⁡(ln⁡x)))f(x) = \ln\left( \arctan\left( \sqrt{1 + e^{\sin(\ln x)}} \right) \right). a) Calculați f′(x)f'(x). b) Determinați punctele critice ale lui ff pe intervalul (1,e2π)(1, e^{2\pi}). c) Demonstrați că ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 are exact două soluții în (1,e2π)(1, e^{2\pi}).
Greu#2Derivate
Fie f:[0,2]→Rf: [0, 2] \to \mathbb{R}, f(x)=x3−3x2+ax+bf(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b, cu a,b∈Ra, b \in \mathbb{R}. a) Determinați aa și bb astfel încât ff să verifice condițiile teoremei lui Rolle pe [0,2][0, 2]. b) Pentru valorile găsite, demonstrați că există c∈(0,2)c \in (0, 2) cu f′′(c)=0f''(c) = 0. c) Arătați că pentru orice x∈[0,2]x \in [0, 2], ∣f(x)∣≤4|f(x)| \leq 4.
Greu#3Derivate
Demonstrați că pentru orice x>0x > 0, are loc inegalitatea ln⁡(1+x)>2x2+x\ln(1+x) > \frac{2x}{2+x}. a) Definiți funcția auxiliară g(x)=ln⁡(1+x)−2x2+xg(x) = \ln(1+x) - \frac{2x}{2+x} și studiați monotonia ei. b) Determinați semnul lui g(x)g(x) pe (0,∞)(0, \infty). c) Generalizați: pentru ce valori ale lui k>0k > 0 are loc ln⁡(1+x)>kxk+x\ln(1+x) > \frac{kx}{k+x} pentru orice x>0x > 0?
Greu#4Derivate
Fie curba Γ:{x=t2−1y=t3−3t\Gamma: \begin{cases} x = t^2 - 1 \\ y = t^3 - 3t \end{cases}, t∈Rt \in \mathbb{R}. a) Determinați ecuația tangentei la Γ\Gamma în punctul corespunzător lui t=2t=2. b) Găsiți punctele de pe Γ\Gamma în care tangenta este paralelă cu dreapta y=3x+1y = 3x + 1. c) Demonstrați că există exact două tangente la Γ\Gamma care trec prin punctul A(0,−4)A(0, -4).
Vezi toate problemele de Derivate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Derivate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.