MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeTrigonometrieIdentități algebrice
Considerăm numărul complex z=cos⁡θ+isin⁡θz = \cos \theta + i \sin \theta, unde θ∈R\theta \in \mathbb{R}. Arătați că zn+z−n=2cos⁡nθz^n + z^{-n} = 2 \cos n\theta pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*. Folosind aceasta, deduceți formula pentru cos⁡3θ\cos 3\theta în funcție de cos⁡θ\cos \theta.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți zz în forma trigonometrică și observați că z−1=cos⁡θ−isin⁡θz^{-1} = \cos \theta - i \sin \theta. Calculați znz^n folosind formula lui Moivre: zn=cos⁡nθ+isin⁡nθz^n = \cos n\theta + i \sin n\theta.
24 puncte
Calculați z−n=cos⁡nθ−isin⁡nθz^{-n} = \cos n\theta - i \sin n\theta. Atunci zn+z−n=(cos⁡nθ+isin⁡nθ)+(cos⁡nθ−isin⁡nθ)=2cos⁡nθz^n + z^{-n} = (\cos n\theta + i \sin n\theta) + (\cos n\theta - i \sin n\theta) = 2 \cos n\theta.
33 puncte
Pentru n=3n=3, avem z3+z−3=2cos⁡3θz^3 + z^{-3} = 2 \cos 3\theta. Dezvoltați z3=(cos⁡θ+isin⁡θ)3=cos⁡3θ+3icos⁡2θsin⁡θ−3cos⁡θsin⁡2θ−isin⁡3θz^3 = (\cos \theta + i \sin \theta)^3 = \cos^3 \theta + 3i \cos^2 \theta \sin \theta - 3 \cos \theta \sin^2 \theta - i \sin^3 \theta și z−3=cos⁡3θ−3icos⁡2θsin⁡θ−3cos⁡θsin⁡2θ+isin⁡3θz^{-3} = \cos^3 \theta - 3i \cos^2 \theta \sin \theta - 3 \cos \theta \sin^2 \theta + i \sin^3 \theta. Adunând, se obține 2(cos⁡3θ−3cos⁡θsin⁡2θ)=2cos⁡θ(cos⁡2θ−3sin⁡2θ)2(\cos^3 \theta - 3 \cos \theta \sin^2 \theta) = 2 \cos \theta (\cos^2 \theta - 3 \sin^2 \theta). Folosind identitatea sin⁡2θ=1−cos⁡2θ\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta, obținem 2cos⁡θ(4cos⁡2θ−3)2 \cos \theta (4 \cos^2 \theta - 3). Astfel, 2cos⁡3θ=2cos⁡θ(4cos⁡2θ−3)2 \cos 3\theta = 2 \cos \theta (4 \cos^2 \theta - 3), deci cos⁡3θ=4cos⁡3θ−3cos⁡θ\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.