MediuTrigonometrieClasa 10

Problemă rezolvată de Trigonometrie

MediuTrigonometrieGeometrie AnaliticăAplicații ale trigonometriei în geometrie
În planul cartezian, se consideră triunghiul ABC cu vârfurile A(0,0)A(0,0), B(5,0)B(5,0) și C(3,4)C(3,4). Să se determine măsurile unghiurilor triunghiului folosind legea cosinusului și să se verifice dacă triunghiul este dreptunghic. Apoi, să se calculeze aria triunghiului utilizând formula trigonometrică A=12absin⁡CA = \frac{1}{2}ab\sin C.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculăm lungimile laturilor: AB=(5−0)2+(0−0)2=5AB = \sqrt{(5-0)^2 + (0-0)^2} = 5, AC=(3−0)2+(4−0)2=9+16=5AC = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5, BC=(3−5)2+(4−0)2=4+16=20=25BC = \sqrt{(3-5)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
23 puncte
Aplicăm legea cosinusului pentru a găsi unghiurile. De exemplu, pentru unghiul A: cos⁡A=AB2+AC2−BC22⋅AB⋅AC=52+52−(25)22⋅5⋅5=25+25−2050=3050=35\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC} = \frac{5^2 + 5^2 - (2\sqrt{5})^2}{2 \cdot 5 \cdot 5} = \frac{25 + 25 - 20}{50} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5}, deci A=arccos⁡35A = \arccos\frac{3}{5}. Similar, cos⁡B=AB2+BC2−AC22⋅AB⋅BC=25+20−252⋅5⋅25=20205=15\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC} = \frac{25 + 20 - 25}{2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{5}} = \frac{20}{20\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}, deci B=arccos⁡15B = \arccos\frac{1}{\sqrt{5}}, iar C=180∘−A−BC = 180^\circ - A - B.
32 puncte
Verificăm dacă triunghiul este dreptunghic. Pentru a fi dreptunghic, ar trebui să existe o latură astfel încât suma pătratelor a două laturi să fie egală cu pătratul celei de-a treia. Verificăm: AB2+AC2=25+25=50AB^2 + AC^2 = 25 + 25 = 50, BC2=20BC^2 = 20, deci nu este dreptunghic.
43 puncte
Calculăm aria cu formula A=12absin⁡CA = \frac{1}{2}ab\sin C. Alegem a=AB=5a=AB=5, b=AC=5b=AC=5, iar sin⁡C\sin C se poate calcula din sin⁡C=sin⁡(180∘−A−B)=sin⁡(A+B)=sin⁡Acos⁡B+cos⁡Asin⁡B\sin C = \sin(180^\circ - A - B) = \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B. Din pașii anteriori, sin⁡A=1−cos⁡2A=1−(35)2=45\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \frac{4}{5}, sin⁡B=1−cos⁡2B=1−(15)2=25\sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2} = \frac{2}{\sqrt{5}}. Atunci sin⁡C=45⋅15+35⋅25=455+655=1055=25\sin C = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} + \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{4}{5\sqrt{5}} + \frac{6}{5\sqrt{5}} = \frac{10}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}. Aria este A=12⋅5⋅5⋅25=255=55A = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{25}{\sqrt{5}} = 5\sqrt{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Trigonometrie

Greu#1Trigonometrie
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru real. Să se determine numărul de soluții ale ecuației sin⁡4x+cos⁡4x=a\sin^4 x + \cos^4 x = a în intervalul [0,2π][0, 2\pi], în funcție de aa. Discuție completă.
Greu#2Trigonometrie
Demonstrați identitatea: sin⁡3xsin⁡x−cos⁡3xcos⁡x=2\frac{\sin 3x}{\sin x} - \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2, pentru x≠kπ2x \neq \frac{k\pi}{2}, k∈Zk \in \mathbb{Z}.
Greu#3Trigonometrie
În triunghiul ABCABC, cu AB=cAB = c, BC=aBC = a, CA=bCA = b, se cunosc sin⁡A=35\sin A = \frac{3}{5} și cos⁡B=513\cos B = \frac{5}{13}. Să se calculeze cos⁡C\cos C și aria triunghiului, știind că a=10a = 10.
Greu#4Trigonometrie
Să se rezolve ecuația 3sin⁡x+cos⁡x=2\sqrt{3}\sin x + \cos x = \sqrt{2}, cu condiția x∈[0,π]x \in [0, \pi] și să se afle soluțiile care satisfac tan⁡x>0\tan x > 0.
Vezi toate problemele de Trigonometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Trigonometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.