MediuNumere ComplexeClasa 10

Problemă rezolvată de Numere Complexe

MediuNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie zz un număr complex astfel încât z2+z+1=0z^2 + z + 1 = 0. Să se calculeze z2024+1z2024z^{2024} + \frac{1}{z^{2024}}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Rezolvarea ecuației z2+z+1=0z^2 + z + 1 = 0. Discriminantul este Δ=1−4=−3\Delta = 1 - 4 = -3, deci z=−1±i32z = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}.
23 puncte
Observarea că zz este rădăcină cubică a unității, deoarece z3−1=(z−1)(z2+z+1)=0z^3 - 1 = (z-1)(z^2+z+1)=0 și z≠1z \neq 1, deci z3=1z^3 = 1.
34 puncte
Calculul lui z2024+1z2024z^{2024} + \frac{1}{z^{2024}}. Din z3=1z^3 = 1, avem z2024=z3⋅674+2=(z3)674⋅z2=z2z^{2024} = z^{3 \cdot 674 + 2} = (z^3)^{674} \cdot z^2 = z^2 și 1z2024=1z2=z\frac{1}{z^{2024}} = \frac{1}{z^2} = z (deoarece z3=1z^3=1 implică z⋅z2=1z \cdot z^2 = 1). Atunci, z2024+1z2024=z2+z=−1z^{2024} + \frac{1}{z^{2024}} = z^2 + z = -1 (din ecuația inițială, z2+z+1=0z^2+z+1=0, deci z2+z=−1z^2+z=-1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Numere Complexe

Mediu#1Numere ComplexeInele și corpuri
Fie mulțimea K={a+bi∣a,b∈Q}K = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Q} \}. Arătați că KK este un corp în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Determinați toate elementele x∈Kx \in K care satisfac x2=−1x^2 = -1.
Greu#2Numere Complexe
Fie z1,z2∈Cz_1, z_2 \in \mathbb{C} astfel încât ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1 și z1+z2=1z_1 + z_2 = 1. a) Demonstrați că z1⋅z2=1z_1 \cdot z_2 = 1. b) Determinați z1z_1 și z2z_2 în forma trigonometrică. c) Calculați (z1z2)2024+(z2z1)2024\left( \frac{z_1}{z_2} \right)^{2024} + \left( \frac{z_2}{z_1} \right)^{2024}.
Greu#3Numere Complexe
Fie z∈Cz \in \mathbb{C} astfel încât ∣z∣=1|z| = 1 și arg⁡(z)∈(0,π2)\arg(z) \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right). a) Demonstrați că ∣1+z∣2+∣1−z∣2=4|1+z|^2 + |1-z|^2 = 4. b) Determinați locul geometric al punctelor M(z)M(z) pentru care ∣1+z∣=2|1+z| = \sqrt{2}. c) Calculați aria maximă a triunghiului cu vârfurile în punctele afixelor 00, zz, și 1z\frac{1}{z}.
Greu#4Numere Complexe
Fie A=(i1−1−i)A = \begin{pmatrix} i & 1 \\ -1 & -i \end{pmatrix}, unde i2=−1i^2 = -1. a) Calculați A2A^2 și A3A^3. b) Demonstrați că An=in−1AA^n = i^{n-1} A pentru orice n≥1n \geq 1 întreg. c) Determinați det⁡(A2025+A2024)\det(A^{2025} + A^{2024}).
Vezi toate problemele de Numere Complexe →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Numere Complexe cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.