MediuIntegrale definiteClasa 12

Problemă rezolvată de Integrale definite

MediuIntegrale definiteArii și volumeTrigonometrie
Fie funcția f:[0,π]→Rf: [0, \pi] \to \mathbb{R}, f(x)=sin⁡xf(x) = \sin x. Determină volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției ff în jurul axei OxOx.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scrie formula volumului pentru rotație în jurul axei OxOx: V=π∫ab[f(x)]2dxV = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx. Aplicând, V=π∫0π(sin⁡x)2dx=π∫0πsin⁡2xdxV = \pi \int_{0}^{\pi} (\sin x)^2 dx = \pi \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx.\n
24 puncte
Se folosește identitatea trigonometrică sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}: V=π∫0π1−cos⁡2x2dx=π2∫0π(1−cos⁡2x)dxV = \pi \int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} dx = \frac{\pi}{2} \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2x) dx.\n
33 puncte
Se calculează integrala: ∫0π(1−cos⁡2x)dx=[x−sin⁡2x2]0π=(π−0)−(0−0)=π\int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2x) dx = [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi} = (\pi - 0) - (0 - 0) = \pi, deci V=π2⋅π=π22V = \frac{\pi}{2} \cdot \pi = \frac{\pi^2}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Integrale definite

Mediu#1Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Calculați aria suprafeței plane mărginite de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+2x+3y = -x^2 + 2x + 3.
Mediu#2Integrale definiteArii și volumeMatematică aplicată
Un teren are forma mărginită de curbele y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și y=−x2+6x−5y = -x^2 + 6x - 5. Calculați aria acestui teren.
Ușor#3Integrale definiteMatematică aplicatăPrimitive
O companie estimează că profitul său marginal (în mii de euro) este dat de funcția P′(x)=10−0.1xP'(x) = 10 - 0.1x, unde xx este numărul de unități produse. Dacă profitul total este zero atunci când nu se produce nimic, determinați profitul total pentru o producție de 100100 de unități.
Mediu#4Integrale definiteArii și volume
Calculați aria domeniului plan mărginit de curbele y=x2y = x^2, y=2x+3y = 2x + 3, axa Oy și dreapta x=2x = 2.
Vezi toate problemele de Integrale definite →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Integrale definite cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.